Исследование и решение произвольной системы линейных уравнений

Определение базисного минора и базисных неизвестных.	Любой, не равный нулю минор, имеющий порядок ранга основной и расширенной матриц системы, называется базиснымминором, а неизвестные, коэффициенты при которых вошли в базисный минор – базисными неизвестными.
Определение свободных неизвестных.	Неизвестные, коэффициенты при которых не вошли в базисный минор, называются свободными.
Определение СОЛУ.	Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены во всех уравнениях этой системы равны нулю. AX = 0 – матричная запись СОЛУ.

Система однородных линейных уравнений всегда совместна, поскольку имеет так называемое тривиальное решение, когда все неизвестные равны нулю: X = 0, . Ранги основной и расширенной матриц системы однородных линейных уравнений всегда равны, так как вычеркивание нулевого столбца свободных членов не изменяет ранга матрицы, поэтому по теореме Кронекера-Капели СОЛУ всегда совместна.

Определение ФСЧР СОЛУ.

Фундаментальной системой частных решений системы однородных линейных уравнений называется система линейно независимых частных решений, число решений в которой равно числу свободных неизвестных системы.

Если n – число неизвестных системы, r – её ранг, то ФСЧР СОЛУ должна содержать k = n – r линейно независимых частных решений.

Фундаментальную систему частных решений получают обычно, последовательно приравнивая свободные неизвестные элементам строк единичной матрицы порядка .

Замечание. ФСЧР СОЛУ можно получить также, приравнивая свободные неизвестные элементам строк произвольной квадратной матрицы А порядка k = n – r, если .

Блок-схема исследования и решения произвольной системы линейных уравнений

R (А) – ранг основной матрицы системы;

R (В) – ранг расширенной матрицы системы;

М _r – базисный минор;

Система несовместна (нет решений)

n – число неизвестных.

Дата добавления: 2015-06-27