Длина вектора в ортонормированном базисе равна корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора. Например, если то . – проекция вектора на вектор

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Координаты вектора находят, вычитая из координат точки , являющейся концом вектора, соответствующие координаты точки , являющейся началом вектора.

= .

Косинус угла между векторами и равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению длин этих векторов: .

Скалярное произведение двух векторов в ортонормированном (декартовом) базисе равно сумме произведений одноименных координат этих векторов: если , то .

В ортонормированном базисе векторное произведение находят, раскладывая определитель, в первой строке которого – орты декартовой системы координат, во второй строке – координаты левого из перемножаемых векторов, а в третьей строке – координаты правого из перемножаемых векторов.

Например, , тогда векторное произведение этих векторов в декартовой системе координат можно найти так: Свойства векторного произведения

.

Геометрический смысл векторного произведения.

Модульвекторного произведениячисленно равенплощади параллелограмма,построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах. Обычно векторы приводят к общему началу. Половина модулявекторного произведениячисленно равнаплощади треугольника,построенного на перемножаемых векторах как на двух смежных сторонах этого треугольника. Обычно векторы приводят к общему началу.

Определение и условие компланарности векторов.

Векторы, лежащие в одной или параллельных плоскостях, называются компланарными.   Смешанноепроизведение ненулевых компланарныхвекторов равно нулю.

Смешанное произведение трех векторов получают, умножая векторное произведение двух векторов на третий вектор скалярно.

В ортонормированном базисе смешанное произведение равно определителю, строками или столбцами которого являются координаты перемножаемых векторов. Обычно первой строкой определителя записывают координаты первого вектора, второй строкой – координаты второго вектора, а третьей строкой – координаты третьего вектора, если считать векторы слева направо.

Полезно помнить такие свойства смешанного произведения: 1) при перестановке двух любых соседних векторов смешанное произведение меняет знак на противоположный; 2) при циклической перестановке (последний вектор ставится впереди первого) смешанное произведение не изменяется, поскольку при этом два раза переставляются соседние векторы.

Геометрический смысл смешанного произведения. Деление отрезка в отношении λ.

Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах. Обычно векторы приводят к общему началу. Объём пирамиды, построенной на векторах , и , равен одной шестой объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах как на ребрах : .

ГЕОМЕТРИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ В ТАБЛИЦАХ

Уравнения плоскости Р в трехмерном пространстве R ₃ и уравнения прямой L
в двухмерном пространстве R ₂

Таблица 1

Уравнения плоскости Р в R 3 в координатной форме	Векторная форма уравнений P, L в R 3 и R 2	Уравнения прямой L в R 2 в координатной форме
I R 3 Уравнения P и L, проходящих через данную точку М 1 R 2I перпендикулярно данному вектору N
N =(A, B, C)   r = (x,y,z) r 1 = (x 1, y 1, z 1) M 1(x 1, y 1 ,z 1)Î P " M (x,y,z) Î P     A(x-x 1)+ B (y-y 1)+ C (z-z 1)=0	r-r 1 = M 1 M M 1 M ^ N (P) M 1 M ^ N (L)   (r-r 1, N) = 0 (M 1 M, N) = 0 Условие ортогональности векторов	N = (A,B)   r = (x,y) r 1 = (x 1, y 1) M (x 1, y 1) Î L " M (x,y) Î L     A (x-x 1)+ B (y-y 1) = 0
II R 3 Общие уравнения R 2 II
Ax + By + Cz + D = 0 D = -Ax 1 - By 1 - Cz 1	(r,N) + D = 0   D = – (r1, N)	Ax + By +D = 0   D = -Ax 1 -By 1
III R3 Через n фиксированных точек M R2 III
	n = 3		n = 2
M 1(x 1 ,y 1, z, 1)Î P, М 1 М Î Р M 2(x 2, y 2, z 2)Î P, М 2 М 1Î Р M 3(x 3, y 3, z 3)Î P, М 3 М 1Î Р " M (x,y,z)Î P	M 1 Î P, L M 2 Î P, L " M Î P, L M 3 Î P	M 1(x1,y1) Î L, M 2(x2,y2) Î L " M (x,y) Î L М 1 М çç М 2 М 1
	(M 1 M, M 1 M 2, M 1 M 3)=0 Условие компланарности векторов		[ M 1 M, M 1 M 2] = 0 Условие коллинеарности векторов
		A =y 2 -y 1; B = – (x 2 -x 1), Û A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0 (1. I.)
IV R 3 Уравнения в отрезках R 2 IV
y= 0, z= 0 Þ x=a x= 0, z= 0 Þ y=b x= 0, y= 0 Þ z=c	r = xi+yj+zk t = i/a +j/b +k/c (r,t) = 1 t = (1 /a, 1 /b, 1 /c) ç r ç cos (r,t) = 1/ ç t ç	y= 0 Þ x=a x= 0 Þ y=b

Уравнения прямой L в трехмерном пространстве R ₃ и в двухмерном пространстве R ₂

Таблица 2

Уравнения прямой L в R ₃ в координатной форме

Векторная форма уравнений прямой L в R ₂ и R ₃

Уравнения прямой L в R ₂ в координатной форме

I Канонические уравнения прямой L I

l =(m,n,p)   l=(m,n,p)ïï L M ₁(x ₁, y ₁, z ₁)Î L M ₂(x ₂, y ₂, z ₂)Î L "M(x, y, z)Î L  

  r-r ₁= M ₁ M çç l r ₂- r ₁= M ₁ M ₂ çç l   [ r-r ₁, l ]=0 [ M ₁ M, l ]=0

l =(m,n)   l =(m,n) çç L M ₁(x ₁, y ₁)Î L M ₂(x ₂, y ₂)Î L " M (x, y)Î L  

II Параметрические уравнения прямой L II

  " t Î R ₁

  r-r ₁ çç l, " t Î R ₁ M ₁ M çç l   r-r ₁= M ₁ M = tl r=r ₁+ tl [ M ₁ M, tl ]=0

  " t Î R ₁  

III Уравнения прямой L, проходящей через две данные точки M ₁ и M ₂ III

  l çç L, l=(m,n,p), lt = M ₁ M ₂ m=x ₂– x ₁, n=y ₂– y ₁, p=z ₂– z ₁  

  M ₁ M çç M ₁ M ₂ çç l M ₁Î L, M ₂Î L, " M Î L   [ M ₁ M, M ₁ M ₂]=0

  l çç L, l =(m,n), tl = M ₁ M ₂ m=x ₂– x ₁, n = y ₂-– y ₁ .

IV Общие уравнения прямой L в R ₃ (P ₁Ç P ₂)

Уравнение прямой L с угловым коэффициентом k в R ₂ V

  N ₁=(A ₁, B ₁, C ₁) N ₂=(A ₂, B ₂, C ₂) N ₁çç N ₂ L ={ P ₁Ç P ₂} . ì A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁=0, î A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂=0.

N ₁ çç N ₂ Û P ₁Ç P ₂ Û Rang

  A x+ B y+ D =0, B ¹0 ß   y = kx + b a³0  

таблица 2 а (продолжение таблицы 2)

Связь между уравнениями прямой L в R 3	Связь между уравнениями прямой L в R 2
Общие(2.IV) Þ z0=0 Þ M 0(x 0, y 0,0)Î L или Þ y1=0 Þ M 1(x 1,0, z 1)Î L   или Þ x 2=0 Þ M 2(0, y 2,z2)Î L     N 1=(A 1, B 1, C 1),ü N 2=(A 2, B 2 ,C 2) þ Û l =[ N 1, N 2]=(m,n,p)   – канонические (2.I)   - ì x-x 0+ mt, í y-y 0+ nt, – параметрические(2.II) î z =0+ pt   ß – через две точки M 0Î L, M 1Î L (2.III) – общие(2.IV)	С угловым коэффициентом: (2.V)   y = kx+b ß ì x = x 1, y=kx 1+ b = y 1 Þ M 1(x 1, y 1)Î L, î x = x 2, y=kx 2+ b = y 2 Þ M 2(x 2, y 2)Î L.     через точки M 1Î L и M 2Î L (1. III) (2.III)   Þ – канонические(2.I) ß   ì n (x-x 1)= m (y-y1) í n (x-x 1)- m (y-y 1)=0, î n = A; –m = B;   A (x-x 1)+ B (y-y 1)=0 M 1(x 1, y 1)Î L N =(A, B)^ L (1.I) ß - Ax 1– B y1= D   Ax + By + D =0 – общее(1.II)

Взаимное расположение плоскостей P в трёхмерном пространстве R ₃
и прямых L в двухмерном пространстве R₂

ТАБЛИЦА 3

I Обозначения, принятые в таблице 2, {P1,P2} в R₃

I

Обозначения, принятые в I таблице 2, {L1,L2} в R₂

N ₁=(A ₁, B ₁, C ₁); N ₂=(A ₂, B ₂,C₂)    

R₃ cos j =   N ₁=(A ₁, B ₁, C ₁); N ₂=(A ₂, B ₂, C ₂)   R₂

N ₁ =(A ₁, B ₁)

N ₂ =(A ₂, B ₂)

a) N₁=(A₁,B₁);N₂=(A₂,B₂)     б) L 1: y=k ₁x+ b ₁ L 2: y=k ₂x+ b ₂ tg j = ß k ₁= tg a₁; k ₂= tg a₂ tg j =tg (a₂ – a₁) =

II Признаки взаимного расположения плоскостей {P1, P2} и прямых {L1, L2} II

плоскости { Р 1, Р 2} в R _n; n =3

Как расположены P и L

Прямые { L 1, L 2} в R _n; n =2

P 1 Ç P 2 (пересекаются) cos j= ¹±1 P 1^ P 2 Û N₁^N₂ Û cos j=0 { P 1Ç P 2}= L, L Î P 1, L Î P 2   Rang A (y)= = Rang B (y)= 2 < 3= n совместная неопределенная система (y)

N₁ïï N₂ j ¹ p k, k =0, ±1, ±2,... cos j ≠ ± 1

L 1Ç L 2 (пересекаются) a) L 1^ L 2Û N ₁^ N ₂ Û cos j = 0 б) tg j= ¹0 1+ k ₁ k ₂ ¹ 0 L 1^ L 2 Û1+ k ₁ k ₂ =0 Û Û k ₂= -1/ k ₁ { L 1Ç L 2}= M, M Î L 1, M Î L 2 Rang A (c)= = Rang B (c)= 2= n совместная определенная система (c)

P 1ïï P 2 (параллельны) cos j = ±1

N ₁ =lN ₂; D ₁¹ lD ₂ l Î R ₁ 1= Rang A (y,c) < < Rang B (y,c) = 2 системы (y),(c) несовместны

L 1ïï L 2 (параллельны) а) cos j = ±1 б) k ₁ = k ₂; b ₁ ¹ b ₂ tg j = 0

P 1º P 2 (совпадают) cosj = ±1

N ₁= lN ₂; D ₁ = lD ₂; l Î R ₁ Rang A (y,c)= = Rang B (y,c)= 1 совместные неопределенные системы (y), (c)

L 1º L 2 (совпадают) а) cosj = ±1 б) k ₁ = k ₂, b ₁ = b ₂ tgj = 0

Дата добавления: 2015-06-27