Предел дробно-рациональной функции

Замечание.

При делении многочлена P_n (x) или Q_m (x) на разность (х – а) опираются на теорему Безу: если число х = а является корнем многочлена (при х = а многочлен равен нулю), то этот многочлен делится на разность (х – а) без остатка.

Деление многочлена на разность (х – а) осуществляется по тем же правилам, по которым делятся столбиком числа:

_a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + … + a_n x - a

a₀xⁿ - aa₀x^n-1 a₀x^n-1 + (a₁ + aa₀)x^n-2 + … = P_n-1(x)

_ (а₁ + aa₀)x^n-1 + a₂x^n-2

(a₁ + aa₀)x^n-1 – a(a₁ + aa₀)x^n-2

_ (a₂ + a(a₁ + aa₀))x^n-2 + a₃x^n-3

……………………………

……………………………

0

Обратите внимание на то, что индекс в обозначении многочлена соответствует старшей степени х этого многочлена.

В результате деления получим представление многочлена Р_n (х) в виде произведения многочлена

P_n-1 (x)на разность (x–a):

Р _n(x) = (x – а) Р_{n -1}(х).

, х

1) m > n 0, ;

2) n = m 0, ;

3) n > m 0,

Более того, если функция f (x) представляет собой отношение линейных комбинаций степенных функций, показатели которых неотрицательны (то есть m и n не обязательно целые, но обязательно неотрицательные), то при можно оставить в числителе и в знаменателе только слагаемые наибольших степеней х, а остальными пренебречь. Предел функции при из-за отбрасывания слагаемых, содержащих меньшие степени х (в том числе и х⁰ = 1), не изменяется, то есть

,

где n > n₁ > n₂ > … 0, m > m₁ > m₂ > … 0 (слагаемые записываются в порядке убывания степеней х).

Предел функции при х

1) n > m 0

2) n = m 0

3) m > n 0

Пусть f (x) = q ^x, q = const .

Предел этой функции, если

1) | q | < 1 0;

2) q = 1 1;

3) 1 < q < ;

4) - < q -1 не существует.

Дата добавления: 2015-06-27