Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

N -1

Позиционные системы счисления

Системой счисления называют способ изображения произвольного числа ограни-ченным набором цифр. Номер позиции, определяющий вес, с которым данная цифра складывается в числе, называют разрядом, а системы счисления, обладающие отме-ченным свойством, — позиционными.

В общем случае n- разрядное положительное число N в произвольной системе счисления с основанием р представляется суммой вида

N= Σ а_k p^k,

k=0

где а_k — отдельные цифры в записи числа, значения которых равны членам натураль-ного ряда в диапазоне от 0 до (р – 1).

Двоичная система счисления. При выполнении вычислений цифровыми электроны-ми устройствами используются элементы с двумя устойчивыми состояниями. Поэтому в цифровой технике широкое распространение получила позиционная двоичная систе-ма счисления (с основанием 2). В каждом двоичном разряде, получившем название бит, может стоять 1 или 0. Сама же запись числа (двоичный код) представляет собой последовательность из единиц и нулей. Чтобы отличить двоичное число от десятично-го, будем дополнять его справа суффиксом В (Binary), как это принято в машинно-ориентированных языках программирования, называемых ассемблерами.

Веса соседних разрядов двоичного кода числа отличаются в два раза, а самый правый разряд (младший) имеет вес 1. Поэтому, например

101101 В = 1×2⁵ + 0×2⁴ + 1×2³ +1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 32+ 0+8+ 4+0+1 = 45.

Четыре соседних бита называют тетрадой, группу из 8 бит называют байтом, а из 16 бит — машинным словом. Совокупность из 1024 (210) байтов называют килобайтом, из 1024 килобайтов — мегабайтом, из 1024 мегабайтов — гигабайтом.

1 Гб = 2¹⁰ Мб = 2²⁰ Кб = 2³⁰ байт.

Двоично-десятичная система счисления. Арифметические операции в двоичной системе счисления исключительно просты и легко реализуются аппаратно. Однако при вводе и выводе информации в цифровое устройство она должна быть представлена в более привычной для человека десятичной системе счисления. Стремление упростить процедуру пересчета двоичных чисел к десятичному эквиваленту и привело к использо-ванию двоично-десятичной системы счисления(BD — Binary Decimals). Она исполь-зуется в ЭВМ не только в качестве вспомогательной системы счисления при вводе и выводе данных, но и в качестве основной при решении задач, когда в ЭВМ вводится и выводится большое количество чисел, а вычислений над ними производится мало. Десятичные числа в двоично-десятичной

системе счисления кодируются в прямом нормально-взвешенном коде 8-4-2-1, т. е. каждую цифру десятичного числа необходимо

заменить соответствующей тетрадой двоичных чисел. Например, десятичное число 9531 в двоично-десятичном коде представляется машинным словом из четырех тетрад

9531 = 1001 0101 0011 0001.

Шестнадцатиричная система счисления. Записывать двоичные числа большой разрядности утомительно. Поэтому, как правило, они представляются более компакт-ными записями с использованием шестнадцатеричнойсистемы счисления. В этой системе используют первые десять членов натурального ряда от 0 до 9, а в качестве остальных цифр — первые шесть латинских букв A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Справа шестнадцатеричное число будем дополнять суффиксом Н (Hexadecimal).

Перевод двоичного числа в число системы с основанием 16 и наоборот не вызывает затруднений. Для этого исходное двоичное число справа налево разбивается на тетра-ды, а затем содержимое каждой из них рассматривается как двоичный код соответству-ющей цифры шестнадцатеричной системы. Для обратного перехода каждую цифру шестнадцатеричного числа заменяют тетрадой двоичного кода, например:

N = 8B5FH = 1000 1011 0101 1111 B.

Таблица 1.1 — Соответствие чисел различных систем счисления

Десятич ное чис- ло (D)

Шестнад- Цатирич- ное число (Н)

А

В

С

D

Е

F

Двоичное число (В)

Для перевода из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления производится методомс последовательного деления на основание такой системы до тех пор, пока частное от деления не будет меньше основания системы. Число в новой системе записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, справа налево. Цифру старшего разряда даёт последнее частное от деления.

Пример 1.1. Перевести десятичное число 157₁₀ в двоичный код, результат проверить.

число 157:2=78; 78:2=39; 39:2=19; 19:2=9; 9:2=4; 4:2=2; 2:2=1.

остаток 1 0 1 1 1 0 0

младший 1 - старший

разряд разряд

Ответ: 157₁₀ = 100111001₂

Проверка: 100111012 = 1×2⁷ + 0×2⁶ + 0×2⁵ +1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ =

= 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1 =157₁₀.

Пример 1.2. Перевести десятичное число 544₁₀ в двоичный код.

число 544:2=272; 272:2=136; 136:2=78; 78:2=39; 39:2=19; 19:2=9; 9:2=4; 4:2=2; 2:2=1

остаток 0 0 0 0 1 1 1 0 0

младший 1 - старший

разряд разряд

Ответ: 544₁₀ = 1001110000₂

Для облегчения работы с двоичными кодами желательно знать наизусть десятичные значения чисел 2 ⁿ от n = 0 до n = 12 (таблица. 3.2).

Таблица 1.2 - Десятичные значения чисел 2 ⁿ

n

2 ^n

Пример 1.3. Перевести десятичное число 157₁₀ в восьмеричный код, результат проверить.

число 157:8=19; 19:8=2; 2:8=0;.

остаток 5 3 2

младший старший

разряд разряд

Ответ: 157 = 235₈

Проверка: 235₈ = 2×8² + 3×8¹ + 5×8⁰ = 128 + 24 + 5 = 157₁₀.

Для перевода двоичного числа в восьмиричную систему счисления оно делится на триады справа налево и каждая триада заменяется восьмиричным числом:

Пример 1.4. 010 100 101 001 = 2451₈

Дата добавления: 2015-06-27