Формы представления чисел

Тема 1.2 Формы представления чисел

Перевод десятичного дробного числа в двоичную систему

Представление отрицательных чисел двоичным кодом

С помощью байта данных можно представить различную информацию:

– целое число без знака (от 0 до 255);

– число от 0 до 99 в двоично-десятичном коде;

– машинный код команд микропроцессора;

– состояние восьми датчиков;

– двоичное число со знаком в прямом, обратном или дополнительном коде ± Х, где Х - модуль числа (от 0 до 127).

Для отображения модуля числа используется семь младших разрядов, а для отображе-ния знака — старший разряд (0 — для положительных чисел, 1 — для отрицательных).

Прямой, обратный и дополнительный коды положительных чисел совпадают. Для полу-чения дополнительного кода отрицательного числа инвертируется код модуля и прибав-ляется единица.

Дополнительный код однобайтового числа минус Х равен дополнению до 256, т. е. двоичному коду числа 256 − X. Преобразование дополнительного кода числа в прямой код осуществляется по тому же правилу, что прямого в дополнительный.

Пример 1.5. Записать дополнительный код однобайтового числа минус 100₁₀ = 1 01100100. Для отображения знака используется старший разряд числа.

Запишем двоичный код числа плюс 100: 01100100

Проинвертируем его: 10011011

Прибавим единицу: 10011100

Проверка: 10011100=128+16+8+4=156=256–100.

Ответ: дополнительный код числа минус 100₁₀ равен 10011100₂.

Перевод десятичного дробного числа в десятичную систему производится в два этапа. Вначале переводится целая часть числа, а затем – дробная.

Десятичная дробь переводится в двоичную систему путём последовательного умножения дробной части на основание два. Дробное число записывается в двоичной системе в виде целых частей чисел, полученных при умножении только дробной части на два, начиная сверху после запятой, и при этом задаётся точность вычислений.

Пример 1.6. Перевести число 187,56₁₀ в двоичную систему с точностью до шестой цифры после запятой.

Перевод целой части.

число 187:2=93; 93:2=46; 46:2=23; 23:2=11; 11:2=5; 5:2=2; 2:2=1;

остаток 1 1 0 1 1 1 0

младший 1 - старший

разряд разряд

187₁₀ = 10111011₂

Перевод дробной части.

0, ×
×
×
×
×
×

0,56₁₀ = 0,100011₂

Ответ: 187,56₁₀ = 1011101, 100011₂

Тема 1.2 Формы представления чисел (2 часа) (было 13.09) Понятие разрядной сетки. Форма представления чисел с фиксированной точкой (с.80-83). Понятие переполнения машинного нуля. Форма представления чисел с плавающей точкой. Понятие нормализации. Алгоритмы сложения и вычитания (с. 83-87) Достоинства и недостатки двух форм представления чисел.

Числа в цифровых устройствах ЦУ могу представляться в форме целых чисел, чисел с фиксированной запятой и чисел с плавающей запятой.

Целые числа при решении задач встречаются в случаях представления индексов переменных, подсчёта числа повторения каких-либо действий и т. д. Для хранения таких чисел в ячейках памяти применяется разрядная сетка, приведённая на рисунке 1.1,а. Старший разряд – знаковый, при этом знак «+» обозначают цифрой «0», а знак «-» - цифрой «1». Младшие разряды сетки занимают цифры модуля числа, свободные старшие разряды заполняются нулями. Например, отрицательное число -13₁₀ = -1101₂ в восьмиразрядной сетке будет записано так, как это показано на рисунке 1.1,б.

Рисунок 1.1 – Разрядная сетка целого числа

Если количество значащих разрядов модуля числа превышаетn-1, то происходит потеря старших разрядов модуля, что называется переполнением разрядной сетки и приводит к ошибкам представления чисел. Диапазон чисел такой сетки составляет 0…2^n-1 – 1. В десятичной системе счисления при 16-ти разрядах диапазон чисел составит 0…32×1024-1 ≈ 0…32×10³, а при 32-х разрядах - ≈ 2×10⁹.

Числа с фиксированной запятой. При этой форме запятая, ставится перед старшим разрядом модуля числа (рисунок 1.2). Таким образом, модуль оказывается всегда меньше единицы, а для записи произвольного числа применяются масштабные коэффициенты, значения которых постоянно для исходных данных задачи и всех промежуточных результатов вычислений.

Рисунок 1.2 – Разрядная сетка числа с фиксированной запятой

При занесении числа в ячейку памяти свободные младшие разряды заполняются нулями. Если число значащих разрядов модуля числа превышает число разрядов

сетки, то младшие разряды теряются. Это приводит к погрешности вычислений έ_АБС, меньшей единицы младшего разряда (при 16 разрядах έ_АБС < 1/32×10^-3, при 32 разрядах <5×10 ^-10.

Если число имеет целую часть, то для неё в разрядной сетке места нет и она теряется.

Достоинства формы: простота выполнения арифметических операций.

Недостатки: 1) необходимость выбора масштабных коэффициентов 2) низкая точность представления чисел с малыми значениями модуля,3) потеря целой части.

Числа с плавающей запятой позволяют представлять числа в широком диапазоне значений и с высокой точностью. Число состоит из мантиссы, старший разряд которой определяет знак числа, и порядка со знаком (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 – Разрядная сетка числа с плавающей запятой

Модуль мантиссы представляется двоичным дробным числом (т.е. запятая ставится перед старшим разрядом модуля мантиссы М), порядок П представляется целым числом и показывает действительное положение запятой в числе. Точность представления зависит количества цифр мантиссы. Для повышения точности мантиссу нормализуют, то есть обеспечивают 0,5 ≤ |М| < 1. Признак нормализации: наличие «1» в старшем разряде модуля мантиссы.

Достоинство формы:

1. Широкий диапазон представления чисел. При шести разрядах порядка диапазон чисел составляет от 10¹⁹ до10^-19.

2. Малая погрешность представления чисел, которая зависит от числа разрядов, отводимых под мантиссу.

Десятичные числа кодируютсясловами переменной длины в упакованной и распакованной формах. Каждая десятичная цифра представляется двоичной тетрадой и занимает в разрядной сетке четыре разряда. Четыре разряда отводятся на знак, из которых знак представляется младшим разрядом, а в остальных разрядах применяется стандартная комбинация 110.

Рисунок 1.4 – Разрядная сетка десятичных чисел а) в упакованном формате,

б) в распакованном формате

При использовании упакованного формата каждые две десятичные цифры представляются байтом (8 двоичных разрядов), см. рисунок 1.4, а.

Например, десятичное число - 6378₁₀ в упакованном формате представляется в виде:

- 6378 = 0000 0119 0011 0111 1000 1101

байт байт байт

В распакованном формате каждый байт содержит лишь одну десятичную цифру в младшей тетраде; старшая тетрада, называемая зоной, заполняется стандартной комбинацией 1111, см. рисунок 1.2,б.

Десятичное число - 6378₁₀ в упакованном формате представляется в виде:

- 6378 = 1111 0110 1111 0011 1111 0111 1101 1000

байт байт байт байт

Дата добавления: 2015-06-27