Метод контурних струмів

Метод безпосереднього використання законів Кірхгофа.

Універсальним методом розрахунку складних кіл є метод безпосереднього використання першого закону Кірхгофа для вузлових точок і другого закону Кірхгофа для замкнутих контурів схеми.

Якщо відомими є величини ЕРС і їх напрямки, а також опори складного кола, то застосовуючи закони Кірхгофа можна скласти стільки незалежних рівнянь, скільки невідомих струмів в цьому колі. Ці рівняння утворюють систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв’язавши яку можна отримати значення невідомих струмів.

Для складання рівнянь необхідно попередньо позначити на схемі довільно обрані додатні напрямки невідомих струмів. Якщо в результаті розв’язання складеної системи рівнянь знайдена величина струму має знак «+», то його фактичний напрямок співпадає з довільно обраним, В протилежному випадку фактичний напрямок струму протилежний обраному напрямку.

Розрахунок складного кола через рівняння Кірхгофа виконується в такій послідовності:

1. При можливості спрощують розрахункову схему (наприклад, можна замінити кілька паралельно з’єднаних опорів одним еквівалентним опором).

2. Позначають на схемі відомі напрямки ЕРС.

3. Позначаються довільно обрані напрямки струмів.

4. Складають рівняння за першим законом Кірхгофа для всіх вузлових точок, крім однієї. Якщо схема містить п вузлів, то незалежних рівнянь можна скласти тільки для (п – 1) вузлів.

5. Складають рівняння, за кількістю яких бракує, за другим законом Кірхгофа (відомо, що для розв’язання системи необхідно, щоб кількість незалежних рівнянь дорівнювало кількості невідомих, в даному випадку струмів).

6. Розв’язують складену систему рівнянь і визначають невідомі струми.

При розрахунку складних кіл, що складаються з великої кількості вузлів, переважним є метод контурних струмів, який дозволяє скоротити загальну кількість рівнянь в системі.

Сутність методу розглянемо на схемі кола з вузлами А, В, С, D.

Ця схема включає три контури АВСА(І), ADBA(ІІ), CBDC(ІІІ). Кожному контуру умовно приписують довільно направлений контурний струм, однаковий для всіх ділянок цього контуру І _І, І _ІІ, І _ІІІ. У вітках, які є спільними для двох суміжних контурів, фактичний струм дорівнює алгебраїчній сумі двох контурних струмів.

Тут:

у вітці АВ протікає струм І ₂ = І _ІІ – І _І,

у вітці ВС – струм І ₅ = І _І – І _ІІІ,

у вітці DB – І ₄ = І _ІІ – І _ІІІ.

Застосовуючи до кожного з контурів другий закон Кірхгофа, отримаємо систему з кількістю рівнянь, рівною кількості невідомих контурних струмів:

Отриману систему рівнянь доцільно переписати так, щоб шукані струми розташувались у відповідних стовпчиках:

Розв’язавши систему і визначивши контурні струми І _І, І _ІІ, І _ІІІ, неважко знайти струми у вітках схеми: I ₁ = I _I, I ₂ = I _II – I _I, I ₃ = I _II, I ₄ = I _II – I _III, I ₅ = I _I – I _III, I ₆ = I _III.

Зауважимо, що при безпосередньому використанні законів Кірхгофа для розрахунку цієї схеми необхідно було б розв’язати систему з шести рівнянь.

Робочий листок MathCAD визначення струмів при конкретних значень вихідних даних для наведеної схеми має вид:

ORIGIN:= 1

Вихідні дані:

R ₁ := 10 R ₂ := 20 R ₃ := 50 R ₄ := 8 R ₅ := 40 R ₆ := 25 R ₇ := 35 R ₈ := 40

E ₁ := 12 E ₂ = 24 E ₃ = 12 E ₄ = 15

Матриця коефіцієнтів розрахункової системи рівнянь:

Матриця правих частин:

Розв’язання системи рівнянь АІ=В:

Фактичні струми [3]:

I ₁:= I ₁ I ₂:= I ₂ – I _I I ₃:= I ₂ I ₄:= I ₂ – I ₃ I ₅:= I ₁ – I ₃ I ₆:= I ₃

I ₁ = –0.437 I ₂ = 0.381 I ₃ = –0.056 I ₄ = –0.098 I ₅ = –0.48 I ₆ = 0.043

При складанні балансу потужностей якщо дійсний напрямок ЕРС і струму у вітці співпадають, то джерело ЕРС працює в режимі генератора і віддає потужність у коло. Якщо напрямки ЕРС і струму протилежні, то джерело ЕРС працює в режимі приймача електроенергії і споживає потужність.

Перевірка:

Потужність, що постачається в коло:

|E ₁· I ₅| + |E ₂ · I ₂| + |E ₃ · I ₄| = 16.086

Потужність, що споживається в колі:

I ₁ ²·(R ₁ + R ₂) + I ₂ ²· R ₃ + I ₃ ²·(R ₅ + R ₆) + I ₄ ²· R ₇ + I ₅ 2· R ₄ + I ₆ ²· R ₈ + E ₄· I ₆ = 16.086

Дата добавления: 2015-06-28