Метод еквівалентного генератора

На практиці часто буває необхідним знайти величину струму тільки в одній з віток складного кола. В таких випадках найбільш ефективним є метод еквівалентного генератора.

Суть методу полягає в тому, що будь-яке складне коло уявляється еквівалентною схемою у вигляді активного двополюсника – одна ЕРС Е і один резистор з опором R. Параметри цього активного двополюсника Е і R визначаються в режимі холостого ходу, тобто при відключенні від клем реального кола вітки, в якій необхідно знайти струм. ЕРС Е активного двополюсника дорівнює напрузі холостого ходу на клемах реального кола, до яких має бути під’єднаною вітка, а значення внутрішнього опору R дорівнює опору кола між цими клемами при умові, що всі ЕРС в реальному колі дорівнюють нулю.

Оскільки активний двополюсник по суті є джерелом ЕРС, тобто генератором, то звідси і витікає відповідна назва методу.

На малюнку показане складне електричне активне (тобто містить джерела електроенергії) коло з винесеною віткою ab, в якій визначається струм, і поруч її еквівалентна схема.

Струм у вітці ab – І _н = Е / (R + R _н).

Напруга U _хх = Е еквівалентної схеми генератора визначається розрахунком кола при відключеному навантаженні R _нбудь-яким з відомих методів розрахунку складних кіл або експериментально.

Опір R схеми визначається методом еквівалентних перетворень схеми до загального опору відносно клем a, b при відключеному навантаженні і закорочених внутрішніх ЕРС.

Приклади виконання розрахункових завдань

Приклад 1. Розрахунок простого розгалуженого кола постійного струму. Розглянемо наведену схему.

Вихідні дані:

U = 240 В; R ₁ = 10 Ом; R ₂ = 20 Ом; R ₃= 60 Ом; R ₄= 9 Ом; R ₅ = 30 Ом; R ₆ = 4 Ом; R ₇ = 2 Ом.

Знайти розподіл струмів в схемі.

Розрахунок:

Визначаємо еквівалентний опір між точками АВ:

Складаємо послідовно з’єднані опори R _ABта R ₄і отримаємо R':

R' = R _AB + R ₄ = 6 + 9 = 15 Ом.

Опір R' в свою чергу виявляється з’єднаним паралельно з опором R ₅. Їх загальний опір:

Загальний опір кола:

R = R ₆ + R _CD + R ₇ = 4 + 10 + 2 = 16 Ом.

Загальний струм:

I = U / R = 240 / 16 = 15 А.

Напруга між точками С і D:

U _CD = I · R _CD = 15·10 = 150 В.

Струми в опорах R' і R ₅:

I ₄ = U _CD / R' = 150 / 15 = 10 A;

I ₅ = U _CD / R ₅ = 150 / 30 = 10 A.

Напруга між точками А і В:

U _AB = I ₄· R _AB = 10·6 = 60 В.

Струми в опорах R ₁, R ₂, R ₃:

I ₁ = U _AB / R ₁ = 60 / 10 = 6 A;

I ₂ = U _AB / R ₂ = 60 / 20 = 3 A;

I ₃ = U _AB / R ₃ = 60 / 60 = 1 A.

Перевірку результатів розрахунку здійснимо через баланс потужностей:

UI = Σ _i=1..7 I _i² R.

UI = 240·15 = 3600 Ватт;

Σ _i=1..7 I _i² R = I ₁² R ₁ + I ₂² R ₂ + I ₃² R ₃ + I ₄² R ₄ + I ₅² R ₅ + I ² R ₆ + I ² R ₇ = 6²·10 + 3²·20 + 1²·60 + 10²·9 + 5²·30 + 15²·4 + 15²·2 = 3600 Ватт.

Отже, яка потужність постачається в коло, така ж потужність споживається елементами кола.

Приклад 2. Визначити струм в перемичці ВС наведеної схеми. Схема відома під назвою міст Уітстона.

Вихідні дані:

Е = 32 В; R ₀= 1 Ом; R ₁ = 10 Ом; R ₂ = 15 Oм; R ₃ = 25 Oм; R ₄ = 12,5 Ом; R ₅ = 25 Oм.

Розрахунок: Замінимо трикутник опорів R ₁, R ₂, R ₃еквівалентною зіркою з променями:

Загальний опір кола:

Струм в нерозгалуженій частині кола:

Струми в паралельних вітках (R _B + R ₅) – I _R5 і (R _C + R ₄) – I _R4:

Ця формула походить з пропорції (струми в паралельних вітках розподіляються зворотно пропорційно опорам віток)[4].

Отже , а I _R4 = I – I _R5 = 2 – 0,8 = 1,2 A.

Із рівняння, складеного за другим законом Кірхгофа для контуру BDCB – I _BC R ₃ + I _R5 R ₅ – I _R4 R ₄ = 0, маємо:

Приклад 3. Безпосереднє застосування законів Кірхгофа.

Визначити розподіл струмів в схемі:

Вихідні дані:

Е ₁ = 72 В; Е ₂= 48 В; R ₁ = 3 Ом; R ₂ = 4 Ом; R ₃ = 6 Ом; R ₄= 10 Ом; R ₅ = 15 Ом.

Попередньо спрощуємо схему і знайдемо еквівалентний опір, який замінює опори R ₃, R ₄, R ₅:

Отримаємо спрощену схему, на якій довільно відмічаємо позитивні напрямки невідомих струмів І ₁, І ₂, І ₃.

Схема має два вузли А і В та два контури. Застосовуючи до вузла А і до двох контурів закони Кірхгофа складаємо три рівняння.

Розв’язуємо систему рівнянь:

І ₃ = І ₁ + І ₂ = 6 – 1,5 = 4,5 А.

Отже, І ₁ = 6 А; І ₂ = –1,5 А; І ₃ = 4,5 А.

Отриманий від’ємний знак у величині струму І ₂ = –1,5 А означає, що в дійсності цей струм направлений в бік, протилежний напрямку стрілки, що позначає на схемі струм І ₂.

Струм І ₃ розподіляється між паралельними вітками R ₄i R ₅зворотно пропорційно їх опорам:

або , звідки:

І ₄ = І ₃ – І ₅ = 4,5 – 1,8 = 2,7 А.

Дата добавления: 2015-06-28