Определение. Полная аналитическая функция, порожденная элементом называется логарифмической функцией

Полная аналитическая функция, порожденная элементом называется логарифмической функцией.

Пусть путь соединяет и , не проходит через . Построим семейство , выполняющее аналитическое продолжение логарифма вдоль пути.

— значение логарифма в конечной точке пути,

Формула , — часть пути, дает значения логарифма в точках пути.

Элемент с центром и радиусом описывается формулой

,

где путь соединяет и в круге . Последний интеграл не зависит от выбора пути .

Пусть , а таково (для определенности ), что . Тогда значение при можно представить интегралом

, где путь соединяет и в .

Полученное равенство означает, что — непосредственное аналитическое продолжение . — аналитическое продолжение элемента .

Продолжение возможно вдоль любого пути, не проходящего через нуль. Область — область существования логарифма.

Для обозначения значений логарифмической функции используется символ . Следует отметить, что значение определяется не только точкой , но и путем, по которому мы в точку пришли. Если необходимо, можно пользоваться обозначением .

3⁰. Пусть — некоторый элемент логарифма. Тогда , можно написать . По принципу перманентности .

4⁰. Пусть . Путь из в можно составить из прямолинейного отрезка и дуги окружности . Интегрирование дает

.

Добавив к нашему пути несколько оборотов по окружности , мы прибавим к значению функции число :

.

В процессе аналитического продолжения мы получим всевозможные значения логарифма.

5⁰. Если — канонический элемент логарифма, то

.

Дата добавления: 2015-06-28