Теорема 1 Об аналитическом продолжении вдоль гомотопных путей

Предложение. Аналитическое продолжение вдоль близких путей

Следствие.

Предложение

Теорема о монодромии

Пусть — аналитическое продолжение вдоль пути, — радиус элемента .

Тогда — непрерывная функция.

Пусть — аналитическое продолжение вдоль пути .

Существует такое , что элемент продолжается до , вдоль любого пути , для которого

.

Доказательство. Попытаемся в качестве взять число из предыдущего предложения. Тогда при всяком точка попадет в круг . В качестве возьмем непосредственное аналитическое продолжение . Покажем, что построенное семейство — аналитическое продолжение вдоль пути . Пусть . Подберем так, чтобы

, — непосредственное продолжение .

Заметим еще, что всегда , так что , на это множестве

.

— непосредственное продолжение .

Пусть и гомотопны в как пути с фиксированными концами, — семейство путей гомотопии. Элемент с центром допускает продолжение вдоль всех путей семейства.

Тогда результат продолжения для всех этих путей один и тот же.

Дата добавления: 2015-06-28