Метод изображений в электростатике

Мы рассмотрели несколько задач расчета электростатических полей при известном распределении зарядов. В такой ситуации решение задачи представляет собой чисто техническую вычислительную проблему, потому, что с физической точки зрения решение сводится к использованию закона Кулона и принципа суперпозиции. К сожалению, достаточно часто встречаются ситуации, когда распределение зарядов заранее неизвестно. Типичный пример такой ситуации - расчет поля в присутствии проводников и диэлектриков, на поверхности которых индуцируются заряды, распределение которых неизвестно. Однако в таких случаях известны физические законы, которые связывают между собой индуцированные заряды и характеристики поля - напряженность и потенциал (так называемые граничные условия). Наиболее просто граничное условие звучит для проводников - поверхность проводника является эквипотенциальной. Знание граничных условий позволяет переформулировать математическую постановку задачи и воспользоваться иными методами. Одним из самых известных способов расчета полей является метод изображений, к изучению и применению которого мы приступаем. Первоначально изложим суть этого метода.

Пусть в некоторой области пространства , ограниченной поверхностью (в частном случае граница области может простираться до бесконечности), задано распределение зарядов (рис.1). Электрическое поле в выделенной области определяется однозначно, если

- задано распределение зарядов внутри этой области;

- задано распределение потенциала на границе области.

Заметим, что на границе области могут существовать заряды, однако даже при неизвестном их распределении, задание потенциала на границе однозначно определяет поле внутри области. Поэтому две различные задачи, но с одинаковыми распределениями зарядов внутри области и одинаковыми потенциалами на границе имеют внутри области одинаковые решения. Иногда при неизвестном распределении индуцированных зарядов на границе удается подобрать такое распределение зарядов вне рассматриваемой области, что для нового распределения оказываются выполненными граничные условия исходной задачи. В этом случае дополнительные заряды называются зарядами-изображениями. Поиск изображений имеет смысл вести тогда, когда новая задача оказывается проще исходной и имеет простое решение.

Помимо задания распределения потенциала, в качестве граничных условий могут использоваться и некоторые другие, например, значение напряженности поля. Формулировке граничных условий, по этой причине уделяется серьезное внимание в курсе электродинамики.

В этом параграфе мы уделим основное внимание методам построения изображений и расчетам характеристик полей. Рассматривать алгоритмы построения полей нет необходимости, так как они полностью аналогичны, изученным ранее.

Дата добавления: 2015-06-28