Заряд между проводящими параллельными плоскостями

Мы уже видели, что один заряд может «давать» несколько изображений. Так в двугранном угле построение изображений может быть проведено по схеме: отображаем в первой плоскости, затем во второй, снова в первой и т.д. Если величина угла удовлетворяет условию (где - целое), то число изображений оказывается конечным, при этом все заряды оказываются лежащими в вершинах правильного -угольника. А если проводящие плоскости параллельны? Верно, в этом случае число изображений оказывается бесконечным[2].

Рассмотрим эту ситуацию. Пусть точечный заряд находится между двумя параллельными проводящими плоскостями. Попытаемся построить поле в этом случае. Будем считать, что заряд лежит на оси , которая перпендикулярна проводящим плоскостям, координаты которых равны , а координата заряда равна (рис. 11).

Построим изображения заряда в плоскостях. Еще раз напомню - необходимо придумать такую систему зарядов, чтобы удовлетворить граничным условиям - данном случае потенциал плоскостей равен нулю. Построение изображений в данной ситуации можно провести в следующей последовательности: зеркально отражаем в правой плоскости, полученное изображение отражаем в левой плоскости, снова в правой и так до бесконечности (рис.12).

На языке формул эту цепочку построений можно записать в виде

,

где первое преобразование есть отражение в правой плоскости, а второе - отражение в левой плоскости. В общем виде эти преобразования имеют рекуррентный вид (причем расчет следует вести по парам зарядов), кстати, не следует забывать менять знаки зарядов

(14)

где . В качестве начальных значений для «запуска» рекуррентной процедуры следует использовать

(15)

Однако эта бесконечная цепочка не исчерпывает всех изображений - необходимо построить еще одну цепочку, начинающуюся с отражения в левом зеркале (рис.13)

Формулы для расчета этой цепочки аналогичны выражениям (14)-(15), только в другом порядке:

(16)

с начальными значениями

(17)

Понятно, подсчитать точно поле, создаваемое исходным точечным зарядом и двумя бесконечными цепочками точно невозможно, даже на сверхмощном компьютере. Но каждое следующее изображения находятся все дальше от рассматриваемой области между плоскостями. Напряженность поля убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, поэтому вклад далеких изображений становится малым, следовательно, цепочки можно «оборвать» ограничившись большим, но конечным числом зарядов. На рис. 14 показаны результаты построения силовых линий поля при различных положениях исходного заряда при числе зарядов изображений равном 100 в каждой цепочке. Таким образом, эти поля рассчитаны по 201 заряду. Увеличение числа изображений не приводит к видимым изменениям силовых линий. Еще одним косвенным подтверждением правильности полученных результатов является тот факт, что все силовые линии входят в пластины под прямым углом.

В данной ситуации представляет интерес зависимость силы, действующей на заряд со стороны индуцированных на пластинах зарядов. Эту силу следует подсчитывать как сумму сил, действующих со стороны всех зарядов изображений. График этой зависимости показан на рис.15. Понятно, что при приближении заряда к одной из плоскостей сила возрастает до бесконечности.

Дата добавления: 2015-06-28