![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Средние величины
Средние величины являются как бы «представителями» всего ряда наблюдений, поскольку вокруг них концентрируются наблюдавшиеся значения признака. Заметим, что только для качественно однородных наблюдений имеет смысл вычислять средние величины. Различают несколько видов средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя кубическая и т.д. При выборе вида средней величины необходимо прежде всего ответить на вопрос: какое свойство ряда мы хотим представить средней величиной или, иначе говоря, какая цель преследуется при вычислении средней? Это свойство, получившее название определяющего, и определяет вид средней. Понятие определяющего свойства впервые введено советским статистиком А. Я. Боярским. Наиболее распространенной средней величиной является средняя арифметическая. Пусть
Так как
Если по наблюдениям построен вариационный ряд, то средняя арифметическая
где х — вариант, если ряд дискретный, и центр интервала, если ряд интервальный; тх — соответствующая частота. Частоты тх в формуле (4) называют весами, а операцию умножения х на тх — операцией взвешивания. Среднюю арифметическую, вычисленную по формуле (4), называют взвешенной в отличие от средней арифметической, вычисленной по формуле (3). Очевидно, что если по данным наблюдений построен дискретный вариационный ряд, то формулы (3) и (4) дают одинаковые значения средней арифметической. Если же по наблюдениям построен интервальный ряд, то средние арифметические, вычисленные по формулам (3) и (4), могут не совпадать, так как в формуле (4) значения признака внутри каждого интервала принимаются равными центрам интервалов. Ошибка, возникающая в результате такой замены, вообще говоря, очень мала, если наблюдения, распределены равномерно вдоль каждого интервала, а не скапливаются к одноименным границам интервалов (т.е. либо все к нижним границам, либо все к верхним границам). Среднюю арифметическую для вариационного ряда можно вычислять по формуле
которая является следствием формулы (4). Действительно, Свойство, определяющее среднюю арифметическую, сводилось к требованию неизменности суммы наблюдений при замене каждого из них средней арифметической. При решении практических задач может оказаться необходимым вычислить такую среднюю
где q — положительное или отрицательное число. Среднюю
Сравнивая формулы (7) и (3), можно сделать вывод, что степенная средняя первого порядка есть не что иное, как средняя арифметическая, т.е. При q=-1 из формулы (7) получаем выражение для средней гармонической, при q= 2 — для среднеквадратической, при q= 3 — для средней кубической и т.д. Средней геометрической Рассмотрим основные свойства средней арифметической. 1°. Сумма отклонений результатов наблюдений от средней арифметической равна нулю. Доказательство. Исходя из определяющего свойства (2) средней арифметической, получаем Если по результатам наблюдений построен вариационный ряд и средняя арифметическая взвешенная, то свойство 1° формулируется так: сумма произведений отклонений вариантов от средней арифметической на соответствующие частоты равна нулю. Действительно, на основании формулы (4) получаем или 2°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) на то же число. ( Доказательство свойств 2° и 3° проведём в предположении, что по результатам наблюдений построен вариационный ряд и средняя арифметическая — взвешенная). Доказательство. Очевидно, что при уменьшении вариантов на одно и то же число с соответствующие им частоты останутся прежними. Поэтому взвешенная средняя арифметическая для изменённого вариационного ряда такова: Аналогично можно показать, что 3°. Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в одно и то же число раз, то средняя арифметическая уменьшится (увеличится) во столько же раз. Доказательство. Очевидно, что при уменьшении вариантов в k раз их частоты останутся прежними. Поэтому средняя арифметическая для изменённого ряда Аналогично можно доказать, что 4°. Если ряд наблюдений состоит из двух групп наблюдений, то средняя арифметическая всего ряда равна взвешенной средней арифметической групповых средних, причём весами являются объёмы групп. Пусть Доказательство. Исходя из определяющего свойству средней арифметической, имеем: произведение Следствие. Если ряд наблюдений состоит из k групп наблюдений, то средняя арифметическая всего ряда 5°. Средняя арифметическая для сумм (разностей) взаимно соответствующих значений признака двух рядов наблюдений с одинаковым числом наблюдений равна сумме (разности) средних арифметических этих рядов. Пусть Доказательство. Имеем Аналогично можно показать, что Следствие. Средняя арифметическая алгебраической суммы соответствующих значений признака нескольких рядов наблюдений с одинаковым числом наблюдений равна алгебраической сумме средних арифметических этих рядов. Вычисление средней арифметической вариационного ряда непосредственно по формуле (4) приводит к громоздким расчётам, если числовые значения вариантов и соответствующие им частоты велики. Поэтому часто используют следующий способ, основанный на свойствах 3° и 2° средней арифметической: среднюю вычисляют не по первоначальным вариантам х, а по уменьшенным на не которое число с, а затем разделённым на некоторое число k, т.е. для вариантов х'=(х — с)/к. Зная среднюю арифметическую
Действительно, принимая во внимание свойства 3° и 2° средней арифметической, получаем
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 504; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |