Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера

Свойства операции умножения матриц

1) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

А×Е = Е×А = А

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

A×O = O; O×A = O, где О – нулеваяматрица.

 

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

 

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

 

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

a(AB) = (aA)B = A(aB).

 

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т = В^ТА^Т

 

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB. Что такое det будет рассмотрено ниже.

 

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2.

Найти А^ТВ+aС.

A^T = ; A^TB = ×= = ; aC = ; А^ТВ+aС = += .

 

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = ×= .

ВА = ×= 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = ×= = .