Свойства операции умножения матриц
1) Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.
А×Е = Е×А = А
Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:
A×O = O; O×A = O, где О – нулеваяматрица.
2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:
(АВ)С=А(ВС).
3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:
А(В + С) = АВ + АС
(А + В)С = АС + ВС.
4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:
a(AB) = (aA)B = A(aB).
5) Если определено произведение АВ, то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство:
(АВ)Т = ВТАТ
6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB. Что такое det будет рассмотрено ниже.
Пример. Даны матрицы А =
, В =
, С =
и число a = 2.
Найти АТВ+aС.
AT =
; ATB =
×
=
=
; aC =
; АТВ+aС =
+
=
.
Пример. Найти произведение матриц А =
и В =
.
АВ =
×
=
.
ВА =
×
= 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Пример. Найти произведение матриц А=
, В = 
АВ =
×
=
=
.