Многочлены. Разложение многочленов на множители

58.

11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители

11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби. Выделение целой части неправильной дроби

11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших

Определение 1. Многочленом (полиномом) степени n от одной переменной называется выражение вида

(1)

( - действительные числа, n - целое неотрицательное число.

Многочлен нулевой степени (n=0) совпадает с постоянной.

Два многочлена считают равными, если они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях

Деление многочленов. Разделить многочлен на многочлен Q( – значит найти многочлены М ( частное) и N( (остаток) такие, что при любом выполняется равенство Q( М N( , причем степень многочлена N( меньше степени многочлена Q(

Пример. 2 ,

где делитель Q(

N( .

Если остаток от деления N( тогда Q( М и говорят, что делится на Q( нацело.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на разность - а равен , т.е. – а) М .

Определение 2. Число , для которого , называется корнем многочлена .

Следствие. Если а – корень многочлена , то многочлен делится нацело на разность - а , т.е. – а) М , где степень многочлена М на единицу меньше степени многочлена

Разложение многочлена на множители

Если многочлен удается представить в виде произведения других многочленов, то говорят, что данный многочлен разложен на множители.

Основная теорема алгебры. Каждый многочлен степени n ( n имеет n корней ( в общем случае комплексных).

Следовательно, каждый многочлен степени n можно разложить на n линейных множителей:

,

.

могут оказаться одинаковые:

, числа кратности корней, .

Если корень α = β + γi многочлена с действительными коэффициентами имеет кратность k , то корнем той же кратности k этого многочлена будет число = β - γi комплексно сопряженное с корнем α .

(х- α)(х- β + γi β - γi =((х β) – γi)(( β )+ γi )=

(х β)² – γ² i² = х²- 2 βх+ β²+γ² = х²+px+q , где p= -2β, q= β²+γ²,

p²-4q

Вывод. Каждый многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения линейных множителей и квадратных трехчленов в степенях, равных кратностям корней:

= ... ,

где + = n , - 4 j = 1,2,…, s

60.11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби

Определение 1. Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией называется отношение двух многочленов , где - многочлен степени , а - многочлен степени .

Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя: .

Определение 3. Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя не меньше степени знаменателя.

Если дробь неправильная, то выделяют её целую и правильную части путем деления числителя на знаменатель уголком:

,

Простейшими рациональными дробями называются дроби четырех типов: 1) ; 2) ;

3) ;

4) , где .

Коэффициенты .

61.