Многочлены. Разложение многочленов на множители

58.

11.1. Многочлены. Разложение многочленов на множители

11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби. Выделение целой части неправильной дроби

11.3. Разложение правильной алгебраической дроби на сумму простейших

Определение 1. Многочленом (полиномом) степени n от одной переменной называется выражение вида

(1)

(- действительные числа, n - целое неотрицательное число.

Многочлен нулевой степени (n= 0) совпадает с постоянной.

Два многочлена считают равными, если они имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях

Деление многочленов. Разделить многочлен на многочлен Q(– значит найти многочлены М (частное) и N((остаток) такие, что при любом выполняется равенство Q(М N(, причем степень многочлена N(меньше степени многочлена Q(

Пример. 2,

где делитель Q(

N(.

Если остаток от деления N(тогда Q(М и говорят, что делится на Q(нацело.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на разность - а равен, т.е. – а) М.

Определение 2. Число, для которого, называется корнем многочлена.

Следствие. Если а – корень многочлена, то многочлен делится нацело на разность - а, т.е. – а) М, где степень многочлена М на единицу меньше степени многочлена

Разложение многочлена на множители

Если многочлен удается представить в виде произведения других многочленов, то говорят, что данный многочлен разложен на множители.

Основная теорема алгебры. Каждый многочлен степени n (n имеет n корней (в общем случае комплексных).

Следовательно, каждый многочлен степени n можно разложить на n линейных множителей:

,

.

могут оказаться одинаковые:

, числа кратности корней,.

Если корень α = β + γi многочлена с действительными коэффициентами имеет кратность k, то корнем той же кратности k этого многочлена будет число = β - γi комплексно сопряженное с корнем α.

(х- α)(х- β + γi β - γi =((х β) – γi)((β)+ γi)=

(х β)² – γ² i² = х²- 2 βх+ β²+γ² = х²+px+q, где p= -2β, q= β²+γ²,

p²-4q

Вывод. Каждый многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения линейных множителей и квадратных трехчленов в степенях, равных кратностям корней:

=...,

где + = n, - 4 j = 1,2,…, s

60.11.2. Рациональные дроби: правильные и неправильные. Простейшие рациональные дроби

Определение 1. Рациональной дробью или дробно-рациональной функцией называется отношение двух многочленов, где - многочлен степени, а - многочлен степени.

Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя:.

Определение 3. Рациональная дробь называется неправильной, если степень числителя не меньше степени знаменателя.

Если дробь неправильная, то выделяют её целую и правильную части путем деления числителя на знаменатель уголком:

,

Простейшими рациональными дробями называются дроби четырех типов: 1); 2);

3);

4), где.

Коэффициенты.

61.

Дата добавления: 2014-01-03