Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных пространств





64.

Лекция 12. Линейные пространства

12.1. Определение линейного пространства, свойства линейных пространств. Примеры линейных. пространств

12.2. Подпространство линейного пространства

12.3. Линейно зависимые и независимые векторы. Базис и размерность линейных пространств

12.4. Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации

12.5. n- мерное арифметическое пространство Rn. Скалярное произведение n-мерных векторов, длина вектора. Угол между n-мерными векторами

Определение. Непустое множество Е элементов любой природы Е = { x, y, z, t, … } называется линейным или векторным пространством над полем действительных чисел R , если выполняются следующие условия:

а) имеется правило, посредством которого любым двум элементам х, у множества Е ставится в соответствие элемент z этого же множества Е, называемый суммой этих элементов : z = x + y;

b) имеется правило, посредством которого каждому элементу х множества Е и любому действительному числу λ ставится в соответствие элемент u = λ x , называемый произведением х на λ .

При этом указанные правила ( операции ) удовлетворяют восьми аксиомам:

1) x + y = y + x - коммутативное ( переместительное ) свойство суммы ;

2) ( x + y ) + z = x + (y + z ) - ассоциативное ( сочетательное ) свойство суммы;

3) Существует нулевой элемент 0 Є Е такой, что х + 0 = х для любого элемента х Є Е ;

4) Для любого элемента х Є Е существует противоположный элемент (- х ) Є Е такой, что х + ( - х ) = 0 ;

5) Для любых действительных чисел α и β верно равенство α(βх) = (αβ)х - ассоциативное относительно числового множителя свойство ;

6) 1∙х = х для любого элемента х Є Е ( особая роль числового множителя 1 );

7) Для любого действительного λ и произвольных элементов х, у Є Е выполняется равенство λ ( х + у ) = λ х +λ у - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы элементов свойство;

8) Для любых действительных чисел α и β и произвольного элемента хЄ Е верно равенство (α + β ) х = α х + β х - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы числовых множителей свойство.



Свойства линейных пространств

Теорема 1. В произвольном линейном пространстве Е существует единственный нулевой элемент 0 Є Е , и для любого элемента х Є Е существует единственный противоположный элемент ( - х ) Є Е.

Теорема 2. В произвольном линейном пространстве Е:

1) Нулевой элемент равен произведению любого элемента х Є Е на число 0 ;

2) Для любого элемента х противоположный элемент (-х ) равен произведению этого элемента х на число -1 : ( - х ) = ( - 1 ) х.

Примеры линейных пространств

1. Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурально го числа n. Легко убедиться, что если х и у - многочлены степени не выше n,то они будут обладать свойствами 1 – 8 ;

2. Множество геометрических векторов пространства R2, исходящих из начала координат;

3. Множество всех матриц одного и того же размера m×n с введенными в нем операциями сложения матриц и умножения матрицы на число . В этом множестве нулевая матрица будет нулевым элементом. Матрица, полученная из матрицы А умножением всех ее элементов на число ( - 1), будет являться для матрицы А противоположным элементом ;

4. Множество всех функций, непрерывных на отрезке [ a , b ], с поточечными для функций операциями сложения и умножения на число.

5. Множество всех функций вида αеt+be-t, где α и b – произвольные вещественные числа.

Примеры множеств, не являющихся линейными пространствами

1. Множество всех алгебраических многочленов степени, точно равной натуральному числу n. В этом множестве не определена операция сложения элементов, так как сумма двух многочленов может оказаться многочленом степени ниже n.

2. Множество многочленов степени не выше n с положительными коэффициентами. В этом множестве не определена операция умножения элемента на число: такие многочлены нельзя умножать на отрицательные числа.

3. Множество геометрических векторов на плоскости, исходящих из начала координат, концы которых расположены в первой четверти. В таком множестве не определена операция умножения на отрицательные числа.





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1746; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:

  1. II этап. Диагностирование состоя­ния пациента: определение его потребно­стей и выявление проблем, постановка сестринского диагноза.
  2. III. ФИЗИОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СЕРДЕЧНОЙ МЫШЦЫ.
  3. IV. Экспериментальное определение параметров схемы замещения трансформаторов.
  4. N Прозрачный матрикс со свойствами геля.
  5. N С возрастом в фибробластах прекращается синтез ГП, нарушаются поперечные микрофибриллярные связи и эластические волокна утрачивают свои свойства (упругость и эластичность).
  6. А. Определение износа объекта недвижимости
  7. Аналитическая геометрия в трехмерном пространстве
  8. Атмосфера Земли и ее свойства. Влияние параметров атмосферы на движение подвижных объектов воздушного базирования.
  9. Бетоны и растворы 2.1 Бетоны и их физико–механические свойства
  10. В основу работы кэш-памяти положены принципы временной и пространственной локальностей программ.
  11. Важной заслугой Т.Р.Мальтуса стало исследование проблемы ренты. Приняв за основу определение стоимости товара трудом не затрачен-
  12. ВЗАИМНОЕ ВЛИЯНИЕ АТОМОВ В МОЛЕКУЛАХ БИООРГАНИЧЕСКИХ СОЕДИЕНИЙ. ЭЛЕКТРОННЫЕ ЭФФЕКТЫ ЗАМЕСТИТЕЛЕЙ. КИСЛОТНЫЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА БИООРГАНИЧЕСКИХ МОЛЕКУЛ

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.