Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Евклидово пространство. Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации





Выше мы определили линейное ( векторное ) пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятие размерности и базиса, а теперь в данном пространстве введем метрику, т.е. способ измерять длины и углы. Это можно, например, сделать, если ввести понятие скалярного произведения.

Определение1. Линейное пространство Е называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, которая любым двум векторам этого пространства ставит в соответствие вещественное число

(( х , у)→α) ;

операция скалярного произведения определяется следующими аксиомами:

1) ( х , у) = ( у , х) ;

2) ( х + у, z ) = ( x , z ) +( y , z ) ;

3) ( λх , у) = λ( x , y) для ;

4) ( х , x) ; ( х , x) = 0 х

Величину называют нормой или длиной вектора х.

Вектор, длина которого равна единице, называют нормированным.

Для любых двух векторов хиу евклидова пространства справедливы

1) неравенство Коши- Буняковского |( x , y )|2( x, x )( y, y )

2) неравенство треугольника |( x + y )| |x| +|y|.

Величину φ, определяемую из соотношения cos φ= , называют углом между векторами xиy .

Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, при этом cos φ=0 и φ= π/2.

Определение 3. Система векторов называется ортогональной, если любые два вектора этой системы ортогональны.

Определение 4. Базис (е1 , е2 , … , еn) называют ортонормированным, если

(ei., ej ) =

Если в евклидовом пространстве размерности n задан произвольный базис ( f1, f2 , …, fn), то с помощью процесса ортогонализации Грама- Шмидта по нему можно построить ортонормированный базис

(е1 , е2 , … , еn) :

g1= f1 , е1 = ,

g2 = f2 – (f2 , е1)∙ е1 , е2 = ,

g3 = f3 – (f3 , е1)∙ е1 -(f3 , е2)∙ е2 , е3 = ,

………………………………………………………………

gn = fn – (fn , е1)∙ е1 -(fn , е2)∙ е2 -…-(fn , еn-1)∙ еn-1 , еn = .

В ортонормированном базисе (е1 , е2 , … , еn) скалярное произведение векторов хи у находят по формуле



( х , у)= х1у1 + х2у2 + … + хi yi + … + xn yn .

Пример. Методом ортогонализации построить ортонормированный базис по базису евклидова пр-ва

1= , 2=

1= 1 , ; 1= = =

2= 2 - ( 2, 1) ∙ 1= - ∙

2=

; 12

Ответ: 1= 2= .

 

69.12.5. n- мерное арифметическое пространство Rn. Скалярное произведение n-мерных векторов, длина вектора. Угол между n-мерными векторами

Множества всех плоских или пространственных векторов, в которых определены операции сложения векторов и умножение вектора на число, являются простейшими примерами векторных пространств. Ниже обобщается понятие вектора и дается определение векторного пространства Rn.

Определение 1. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ), где хi - i – я компонента вектора х.

Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ), а соответствующие цены - вектором у = ( у1, у2, … , уi , … , уn ) .

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. х = у, если хi = уi , i = 1, 2, … , n.

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор z = x + y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов , т.е.

zi =xi+yi , I = 1,2, … , n.

Произведением вектора х на действительное число λ называется вектор u = λ х , компоненты ui которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора х, т.е. ui = λ xi .

Нулевым n-мерным вектором называется вектор , все компоненты которого равны нулю: О = ( 0, 0, … , 0, … 0 ) .

Противоположным к вектору х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ) называется вектор

-х = (- х1, - х2, … , -хi , … ,- xn ) .

Определение 2. Множество всех n-мерных векторов с введенными в нем операциями сложения векторов и умножения векторов на действительные числа называется n-мерным арифметическим пространством и обозначается Rn.

Пространство Rn является линейным пространством.

Определение 3. Скалярным произведением двух n-мерных векторов

х = ( х1, х2, … , хi , … , xn ) и у = ( у1, у2, … , уi , … , уn ) называется

число ( х , у)= х1у1 + х2у2 + … + хi yi + … + xn yn =.

Пространство Rn является евклидовым пространством, так как в нем определено скалярное произведение элементов.

Длина п-мерного вектора вычисляется по формуле =.

Угол φ между двумя п-мерными векторами определяется по формуле

φ=arccos = .

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1056; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.