Обертання твердого тіла навколо нерухомої осі

Обертанням твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий його рух, при якому дві точки тіла залишаються нерухомими впродовж усього часу руху. При цьому також залишаються нерухомими всі точки тіла, розташовані на прямій, що проходить через його нерухомі точки. Ця пряма називається віссю обертання тіла.

Нехай точки A і B нерухомі. Вздовж осі обертання напрямимо вісь . Через вісь обертання проведемо нерухому площину і рухому , скріплену з тілом, що обертається (при ).

Рис.4 4444412.5

Положення площини і самого тіла визначається двогранним кутом між плоскістю і . Позначимо його . Кут називається кутом повороту тіла.

Положення тіла відносно вибраної системи відліку однозначно визначається у будь-який момент часу, якщо задано рівняння , де будь - яка двічі диференційована функція часу. Це рівняння називається рівнянням обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.

У тіла, що здійснює обертання навколо нерухомої осі, один ступінь свободи, оскільки його положення визначається заданням лише одного параметра – кута .

Кут вважається позитивним, якщо він відкладається проти годинникової стрілки, і негативним – у протилежному напрямі. Траєкторії точок тіла при його обертанні навколо нерухомої осі є колами, розташованими в площині перпендикулярних осі обертання.

Для характеристики обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі введемо поняття кутової швидкості і кутового прискорення.

Алгебраїчною кутовою швидкістю тіла в будь - який момент часу називається перша похідна за часом від кута повороту у цей момент, тобто .

Кутова швидкість є позитивною величиною при обертанні тіла проти годинникової стрілки, оскільки кут повороту зростає з часом, і негативною – при обертанні тіла за годинниковою стрілкою, тому що кут повороту при цьому спадає.

Розмірність кутової швидкості за визначенням: .

У техніці кутова швидкість – це частота обертання, виражена в обертах за хвилину. За одну хвилину тіло обернеться на кут, де n – число обертів за хвилину. Розділивши цей кут на число секунд за хвилину, отримаємо

.

Алгебраїчним кутовим прискоренням тіла називається перша похідна за часом від кутової швидкості, тобто друга похідна від кута повороту, тобто .

Розмірність кутового прискорення за визначенням: .

Введемо поняття векторів кутової швидкості та кутового прискорення тіла. і , де – одиничний вектор осі обертання. Вектори і можна зображувати в будь-яких точках осі обертання, вони є ковзними векторами.

Рис. 5

Кутова алгебраїчна швидкість – це проекція вектора кутової швидкості на вісь обертання. Кутове алгебраїчне прискорення це проекція вектора кутового прискорення швидкості на вісь обертання.

Якщо при , то алгебраїчна кутова швидкість зростає з часом і, отже, тіло обертається прискорено в даний момент часу в позитивний бік. Напрями векторів і збігаються, отже обидва вони напрямлені в позитивний бік осі обертання .

При і тіло обертається прискорено в негативний бік. Напрями векторів і збігаються, обидва вони направлені в негативний бік осі обертання .

Якщо при , то маємо сповільнене обертання в позитивний бік. Вектори і напрямлені в протилежні боки.

Якщо при , то маємо сповільнене обертання в негативний бік. Вектори і напрямлені в протилежні боки.

Кутову швидкість і кутове прискорення на рисунках зображують дуговими стрілками навколо осі обертання (якщо не можна зобразити вектори). Дугова стрілка для кутової швидкості вказує напрям обертання тіла, а дугова стрілка для кутового прискорення – напрям, в якому збільшується кутова алгебраїчна швидкість. Для прискореного обертання дугові стрілки для кутової швидкості та кутового прискорення мають однакові напрями, для сповільненого їхні напрями протилежні.

Дата добавления: 2017-01-14