Векторное произведение

Задачи для самостоятельного решения

Задача 38. Вычислить , если:

1) и ;

2) и .

Задача 39. Определить при каком значении векторы и ортогональны, если:

1) и ;

2) и .

Задача 40. Вычислить косинус угла, образованного векторами и , если:

1) и ;

2) и .

Задача 41. Найти и , если:

1) и ;

2) и .

Задача 42. Даны вершины треугольника . Определить угол при вершине если:

1) , , ;

2) , , .

Пусть задана тройка векторов . Будем называть её упорядоченной, если указано, какой из векторов считать первым, какой вторым, какой третьим.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу, из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка левая.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующими трём условиям:

1) , где угол между векторами и ;

2) и ;

3) векторы образуют правую тройку.

Обозначается векторное произведение

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.

2. Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

. (9)

3. .

4. .

5.

Векторное произведение в ПДСК

Если векторы и , то векторное произведение вычисляется по формуле:

. (10)

Задача 43. Вычислить площадь треугольника , если , , и найти длину высоты треугольника , которая опущена из вершины .

Решение. Найдём координаты векторов , и (см. (5)):

, ,

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Найдём площадь параллелограмма по формуле (9). Для этого вычислим векторное произведение этих векторов, используя формулу (10):

.

Следовательно,

.

Из школьного курса геометрии известно, что, , где высота треугольника, длина стороны, на которую опущена высота. Следовательно,

.

Тогда

.

Дата добавления: 2015-07-13