Взаимное расположение прямой и плоскости

Условие пересечения прямых

Расстояние точки от прямой

Угол между прямыми

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид:

.

Угол между прямыми

и

равен углу между их направляющими векторами. Следовательно, его можно вычислить по формуле (4):

.

Условие параллельности прямых:

.

Условие перпендикулярности плоскостей:

.

Пусть дана точка и прямая

.

Из канонических уравнений прямой известны точка , принадлежащая прямой, и её направляющий вектор . Тогда расстояние точки от прямой равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и . Следовательно,

.

Две непараллельные прямые

,

пересекаются тогда и только тогда, когда

.

Пусть заданы прямая и плоскость . Угол между ними можно найти по формуле

.

Задача 73. Написать канонические уравнения прямой

(11)

Решение. Для того чтобы записать канонические уравнения прямой (9), необходимо знать любую точку, принадлежащую прямой, и направляющий вектор прямой.

Найдём вектор , параллельный данной прямой. Так как он должен быть перпендикулярен к нормальным векторам данных плоскостей, т. е.

, , то

.

Из общих уравнений прямой имеем, что , . Тогда

.

Так как точка любая точка прямой, то её координаты должны удовлетворять уравнениям прямой и одну из них можно задать, например, , две другие координаты найдём из системы (11):

.

Отсюда, .

Таким образом, канонические уравнения искомой прямой имеют вид:

или .

Задача 74. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:

и .

Решение. Из канонических уравнений первой прямой известны координаты точки , принадлежащей прямой, и координаты направляющего вектора . Из канонических уравнений второй прямой также известны координаты точки и координаты направляющего вектора .

Расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию точки от второй прямой. Это расстояние вычисляется по формуле

.

Найдём координаты вектора .

Вычислим векторное произведение :

.

Тогда

Задача 75. Найти точку симметричную точке относительно прямой

.

Решение. Запишем уравнение плоскости перпендикулярной к данной прямой и проходящей через точку . В качестве её вектора нормали можно взять направляющий вектор прямой. Тогда . Следовательно,

.

Найдём точку точку пересечения данной прямой и плоскости П. Для этого запишем параметрические уравнения прямой, используя уравнения (10), получим

Далее, решим систему, в которую входит уравнение плоскости и параметрические уравнения прямой:

Следовательно, .

Пусть точка симметричная точке относительно данной прямой. Тогда точка середина отрезка . Для нахождения координат точки используем формулы координат середины отрезка:

, , .

Получим

, ,

.

Итак, .

Задача 76. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и

а) через точку ;

б) перпендикулярно плоскости .

Решение. Запишем общие уравнения данной прямой. Для этого рассмотрим два равенства:

Это означает, что искомая плоскость принадлежит пучку плоскостей с образующими и её уравнение может быть записано в виде (8):

(12)

а) Найдём и из условия, что плоскость проходит через точку , следовательно, её координаты должны удовлетворять уравнению плоскости. Подставим координаты точки в уравнение пучка плоскостей:

.

Найденное значение подставим в уравнение (12). получим уравнение искомой плоскости:

б) Найдём и из условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости . Вектор нормали данной плоскости , вектор нормали искомой плоскости (см. уравнение пучка плоскостей (12).

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,

.

Отсюда,

Подставим найденное значение в уравнение пучка плоскостей (12). Получим уравнение искомой плоскости:

Дата добавления: 2015-07-13