Элементы линейной алгебры

Пример

Даны вершины треугольной пирамиды Найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь грани ;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты, опущенной из вершины на грань ;

5) угол между ребром и гранью ;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Решение

А 4   А 2   В А 1 А 3 Рис. 2

1) Угол между ребрами и находим с помощью скалярного произведения векторов по формуле , найдем координаты векторов тогда косинус угла между векторами .

2) Площадь грани находим с помощью векторного произведения векторов. Найдем координаты вектора , тогда площадь треугольника находим по формуле

.

Найдем векторное произведение векторов

модуль векторного произведения равен

,

откуда находим площадь треугольника

3) Объем пирамиды находим с помощью смешанного произведения векторов по формуле

,

так как выше найдены координаты векторов

,

подставим координаты векторов в формулу, получим

.

4) Для нахождения длины высоты h, опущенной из вершины на грань применим формулу

,

откуда находим

5) Уравнение прямой находим по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки :

.

Для нахождения уравнения плоскости используем уравнение плоскости, проходящей через три точки

.

Подставим координаты точек в уравнение, получим

,

,

,

или

.

Угол между прямой и плоскостью находится по формуле

,

в нашем случае

.

6) Общее уравнение плоскости :

,

нормальный вектор плоскости .

Уравнение высоты : .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости: .

В нашем случае , тогда уравнение высоты имеет вид

Краткое содержание (программа) курса

Матрицы, операции над ними. Определители и их свойства и вычисление. Ранг матрицы, обратная матрица. Теорема Кронекера-Капелли. Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Система m линейных уравнений с n неизвестными.

Дата добавления: 2017-01-13