Линейные однородные ДУ n-го порядка

Полученные результаты можно распространить на линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид

1. Если функции у₁=y₁(x),y₂=у₂(х),...,у_n=у_n(х) являются частными решениями уравнения (3.18), то его решением является и функция У=c₁y₁+с₂у₂+...+с_nу_n.

2. Функции у₁, у₂,..., у_n называются линейно независимыми на (а;b), если равенство a₁y₁+а₂у₂+..+a_nу_n=0 выполняется лишь в случае, когда все числа а_i=0 (i=1,2,...,n); в противном случае (если хотя бы одно из чисел из не равно нулю) функции у₁, у_2,..., у_n - линейно зависимы.

3. Определитель Вронского имеет вид

4. Частные решения y₁,y₂,...,y_n уравнения (3.18) образуют фундаментальную систему решений на (а;b), если ни в одной точке этого интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. W(x) ≠ 0 для всех х є (a; b).

5. Общее решение ЛОДУ (3.18) имеет вид у=c₁y₁+с₂у_{2 +...+}c_ny_n,

где c_i (i=1,...,n) - произвольные постоянные, y_i- частные решения уравнения (3.18), образующие фундаментальную систему.

Пример 3.6. Показать, что функции образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).

Решение: Найдем W(x):

Ясно, что W(x)≠0 для всех х є R. Следовательно, данные функции образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего порядка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:

Подставив функции у₁,y₂,y₃ в это уравнение, получим систему из трех уравнений относительно функций а₁(х), а₂(х), а₃(х). Решая ее, получим ЛОДУ его общее решение:

Дата добавления: 2017-01-13