Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Задача нахождения общего решения ЛОДУ n-го порядка (n > 2) с постоянными коэффициентами

где p_i, i=1,n, - числа, решается аналогично случаю уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Частные решения уравнения (4.6) также ищем в виде у=е^kх, где k - постоянное число.

Характеристическим для уравнения (4.6) является алгебраическое уравнение n-го порядка вида

Уравнение (4.7) имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через k₁, k₂,..., k_n.

Замечание. Не все из корней уравнения (4.7) обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение (k-3)²=0 имеет два равных корня: k₁=k₂=3. В этом случае говорят, что корень один (k=3) и имеет кратность m_k=2. Если кратность корня равна единице: m_k=1, его называют простым.

Случай 1. Все корни уравнения (4.7) действительны и просты (различны). Тогда функции являются частными решениями уравнения (4.6) и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения (4.6) записывается в виде

Пример 4.3. Найти общее решение уравнения

Решение: Характеристическое уравнение

k³-2k²-k+2=0 имеет корни k₁=-1, k₂=1, k₃=2. Следовательно, общее решение данного уравнения.

Случай 2. Все корни характеристического уравнения действительные, но не все простые (есть корни, имеющие кратность m>1). Тогда каждому простому корню k соответствует одно частное решение вида е^кх, а каждому корню k кратности m>1 соответствует m частных решений: е^kх, хе^kх, х²е^kx,..., х^m-1е^kх.

Пример 4.4. Решить уравнение

Решение: Характеристическое уравнение

имеет корни k₁=-2, k₂=1, k₃=1, k₄=1. Следовательно,

- общее решение уравнения.

Случай 3. Среди корней уравнения (4.7) есть комплексно-сопряженные корни. Тогда каждой паре a±βi простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения е^ахcosβx и е^ахsinβx, а каждой паре а ± β_i корней кратности m>1 соответствуют 2m частных решений вида

Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему решений.

Пример 4.5. Решить уравнение

Решение: Характеристическое уравнение

имеет корни Следовательно,

- общее решение уравнения.

Дата добавления: 2017-01-13