Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Лекция № 5

Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами.

Пусть дано ЛОДУ второго порядка

где р и q постоянны.

Для нахождения общего решения уравнения (4.1) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. теорему 3.5).

Будем искать частные решения уравнения (4.1) в виде где k - некоторое число (предложено Л. Эйлером).

Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравнение (4.1), получим:

Уравнение (4.2) называется характеристическим уравнением ДУ (4.1)

(для его составления достаточно в уравнении (4.1) заменить у", у' и у соответственно на k², k и 1).

При решении характеристического уравнения (4.2) возможны следующие три случая.

Случай 1. Корни k₁ и k₂ уравнения (4.2) действительные и различные:

В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции y₁=e^k1^x и у₂=е^k2^x_. Они образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы), т. к. их вронскиан

Следовательно, общее решение уравнения (4.1), согласно формуле (3.16), имеет вид

Пример 4.1. Решить уравнение

Решение: Составим характеристическое уравнение: Решаем его: k₁=2, k₂=3. Записываем общее решение данного уравнения: где c₁ и с₂ - произвольные постоянные (формула (4.3)).

Случай 2. Корни k₁ и k₂ характеристического уравнения (4.2) действительные и равные:

В этом случае имеем лишь одно частное решение y₁=e^k1x. Покажем, что наряду с у₁ решением уравнения (4.1) будет и у₂=хе^k1x. Действительно, подставим функцию у₂ в уравнение (4.1). Имеем:

Но k₁²+pk₁+q=0, т. к. k₁ есть корень уравнения (4.2); р+2k₁=0, т. к. по условию

Поэтому y''₂+py'₂+qy₂=0, т. е. функция у₂=хе^k1^x является решением уравнения (4.1).

Частные решения образуют фундаментальную систему решений: W(x)=e^2k₁^x≠0. Следовательно, в этом случае общее решение ЛОДУ (4.1) имеет вид

Случай3. Корни k₁ и k₂ уравнения (4.2) комплексные:

В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функции

По формулам Эйлера

имеем

Найдем два действительных частных решения уравнения (4.1). Для этого составим две линейные комбинации решений y₁ и у_2:

Функции являются решениями уравнения (4.1), что следует из свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 3.2).

Эти решения образуют фундаментальную систему решений, так как W(x) ≠ 0 (убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение уравнения (4.1) запишется в виде или

Пример 4.2. Решить уравнение

Решение: Имеем:

По формуле (4.5) получаем общее решение уравнения:

Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (4.1) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (4.2) и использованию формул (4.3)-(4.5) общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).

Дата добавления: 2017-01-13