Метод простых итераций 2 страница

4.5. Работа 5. Обработка экспериментальных данных

Цель работы: изучение приемов обработки экспериментальных данных с помощью метода наименьших квадратов.

Исходными данными являются 10 пар значений (x_i, y_i), имитирующих данные экспериментального исследования зависимости x(y), например

№	xi	yi
	0,96	0,676
	1,23	0,786
	1,36	0,787
	2,18	1,264
	2,85	1,607
	3,10	1,731
	3,74	2,228
	4,67	3,463
	4,94	3,972
	5,72	5,814

В лабораторной работе проводится определение коэффициентов регрессии А и В и оценка параметров полученной приближенной зависимости.

Для этого составляется таблица, содержащая, кроме значений х и у, значения квадратов (х²) и произведений (ху). Затем с помощью автосуммирования вычисляются суммы соответствующих столбцов и по формулам (57) определяются коэффициенты А и В. После определения коэффициентов следует в дополнительном столбце таблицы протабулировать полученную регрессионную зависимость:

у=Ах+В

и построить график, представляющий как экспериментальные точки, так и полученную зависимость.

Если по виду "облака экспериментальных точек" сложно оценить предполагаемый вид зависимости у(х), то определяют коэффициенты разных регрессий – линейной и степенной либо экспоненциальной. Затем сравнивают для них величины критерия Гаусса:

,

где m – число параметров регрессионной зависимости (для указанных видов m = 2). Предпочтительной является зависимость, которая имеет наименьшую величину D_в.

В лабораторной работе необходимо, кроме линейной регрессии, подобрать параметры степенной или экспоненциальной регрессии (на выбор студента, ориентируясь на вид "облака точек"), определить для обеих регрессий значение выборочной дисперсии и сделать вывод об эффективности оценки экспериментальных данных с помощью полученных зависимостей.

Ниже приведен пример таблицы расчета параметров линейной и экспоненциальной регрессий для последовательности точек, приведенной выше в качестве примера. На следующем рисунке показан построенный по результатам расчета график:

Расчет коэффициентов линейной и экспоненциальной регрессии
№ опыта	xi	yi	Y лин	Y эксп	xi^2	xiyi	ln yi	(ln xi)^2	x (ln yi)
	0,96	0,676	0,204	0,684	0,922	0,649	-0,392	0,002	-0,376
	1,23	0,786	0,463	0,771	1,513	0,967	-0,241	0,043	-0,296
	1,36	0,787	0,587	0,817	1,850	1,070	-0,240	0,095	-0,326
	2,18	1,264	1,374	1,174	4,752	2,756	0,234	0,607	0,511
	2,85	1,607	2,017	1,580	8,123	4,580	0,474	1,097	1,352
	3,1	1,731	2,257	1,765	9,610	5,366	0,549	1,280	1,701
	3,74	2,228	2,871	2,342	13,988	8,333	0,801	1,740	2,996
	4,67	3,463	3,763	3,535	21,809	16,172	1,242	2,375	5,801
	4,94	3,972	4,022	3,984	24,404	19,622	1,379	2,552	6,814
	5,72	5,814	4,770	5,626	32,718	33,256	1,760	3,041	10,069
Сумма:	30,75	22,328			119,688	92,770	5,568	12,832	28,245
Коэффициенты линейной регрессии:		Дисперсия:
B =	0,959		A =	-0,717		D =	0,302
Коэффициенты экспоненциальной регрессии:
B =	0,443		A =	0,447		D =	0,008

Для того, чтобы разные зависимости были показаны по-разному (точками, пунктиром и т.д.) надо после построения диаграммы щелкнуть левой кнопкой мыши по одной из кривых (при правильном наведении указателя мыши на нужную кривую появляется подсказка, например, "Ряд Yлин, точка …") и в контекстном меню выбрать "Формат рядов данных". На вкладке "Вид" появившегося диалогового окна можно выбрать нужный формат линии и маркера для соответствующей кривой (или их отсутствие). На приведенном рисунке для ряда "y_i" отсутствует линия, но есть маркеры (точки), для рядов "Yлин", "Yэксп" маркеры отсутствуют.

Варианты заданий:

№	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi
	0,302	1,276	0,446	1,233	0,946	0,301	0,606	0,204
	0,556	1,565	1,132	0,740	0,992	0,339	1,568	0,149
	1,296	2,220	1,603	0,546	1,327	0,423	1,893	0,122
	1,469	2,165	2,026	0,388	1,400	0,432	2,521	0,118
	1,627	2,452	2,171	0,372	2,218	0,779	2,913	0,112
	2,249	2,482	2,622	0,278	2,655	0,933	3,782	0,099
	2,983	2,855	2,776	0,231	3,155	1,321	4,609	0,091
	3,096	2,837	3,580	0,125	3,467	1,766	4,980	0,080
	3,236	2,887	3,920	0,101	3,765	2,097	5,549	0,083
	3,672	3,023	4,912	0,051	4,397	3,193	5,738	0,078
№	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi
	0,184	0,144	0,593	1,128	0,057	1,381	0,845	0,091
	0,206	0,132	1,111	0,873	0,114	1,248	0,997	0,097
	1,200	0,080	1,785	0,788	0,458	1,074	1,383	0,084
	2,097	0,076	1,937	0,769	0,511	1,088	1,562	0,080
	2,673	0,067	2,042	0,812	0,805	1,083	1,960	0,078
	3,426	0,064	2,342	0,712	0,872	0,957	2,291	0,068
	4,031	0,065	3,002	0,660	1,082	0,935	3,233	0,067
	4,059	0,064	3,320	0,643	1,646	0,995	3,354	0,065
	4,249	0,058	4,240	0,625	2,039	0,945	3,568	0,060
	4,689	0,062	4,342	0,614	3,030	0,951	4,458	0,060

№	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi
	0,190	0,003	0,638	1,045	0,588	1,589	0,874	1,324
	0,698	0,003	1,612	0,738	0,833	1,911	1,462	1,935
	1,421	0,004	1,622	0,738	1,194	2,126	2,165	2,925
	1,599	0,004	2,522	0,565	1,562	2,362	2,359	3,118
	2,594	0,005	3,137	0,521	2,537	3,376	2,886	4,838
	3,525	0,007	3,900	0,463	2,883	3,901	2,982	4,573
	3,874	0,008	4,623	0,420	3,861	4,836	3,494	7,028
	4,051	0,008	5,311	0,416	4,296	5,095	3,574	6,640
	4,739	0,010	6,246	0,353	5,009	5,428	4,121	10,287
	5,591	0,013	6,550	0,359	5,707	6,219	4,166	9,710
№	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi
	0,913	3,667	0,128	0,240	0,630	1,236	0,721	0,905
	1,338	5,361	1,109	0,589	1,252	1,048	0,987	1,073
	1,447	6,038	1,746	1,167	1,916	1,002	1,487	1,522
	1,666	6,853	2,532	2,187	2,105	0,898	2,103	2,388
	2,607	16,612	2,977	3,435	2,212	0,975	2,406	3,252
	3,190	30,838	2,987	3,242	2,418	0,979	2,709	3,889
	3,510	40,393	3,851	7,207	2,551	0,894	3,469	7,400
	4,359	92,118	4,079	8,858	3,146	0,849	4,432	14,841
	4,572	113,603	4,549	15,172	3,683	0,865	5,406	34,562
	5,017	181,838	5,031	20,935	4,375	0,828	5,531	36,439
№	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi
	0,413	1,522	0,736	1,105	0,667	0,451	0,651	1,574
	0,741	1,513	0,758	1,162	1,097	0,613	1,408	1,358
	1,070	1,700	1,026	1,269	1,670	0,816	2,057	1,255
	1,942	1,818	2,003	2,056	2,176	0,885	3,016	1,036
	2,570	2,142	2,865	2,800	2,939	1,225	3,089	1,160
	3,032	2,321	3,573	3,542	3,645	1,393	3,660	1,126
	3,337	2,156	3,803	3,928	4,204	1,538	4,118	0,988
	3,624	2,502	4,487	5,228	4,620	1,622	4,700	0,984
	4,017	2,434	5,206	7,563	5,089	1,690	5,630	0,901
	4,265	2,856	5,467	8,063	5,274	1,724	6,514	0,920
№	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi	Xi	Yi
	0,256	0,451	0,749	1,532	0,633	0,526	0,046	1,706
	0,837	1,253	0,897	1,611	1,446	0,419	0,992	2,076
	1,310	1,600	1,012	1,656	1,821	0,383	1,627	2,553
	1,749	2,055	1,873	2,518	2,066	0,307	1,941	2,927
	2,227	2,712	2,624	3,249	2,946	0,229	2,284	2,968
	3,135	3,474	3,030	3,295	3,227	0,217	2,646	3,555
	4,130	4,154	3,812	4,013	3,593	0,188	3,206	4,154
	4,978	4,973	4,732	5,033	3,957	0,179	3,638	4,531
	5,245	4,868	4,839	5,292	4,692	0,136	3,705	4,726
	5,863	5,416	4,850	5,308	5,564	0,104	4,118	5,137

V. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Учебным планом предусмотрено выполнение двух контрольных работ (если планом предусмотрена одна работа, решаются задача 2 из работы 1 и задача 1 из работы 2). Работы выполняются в тетради в клетку. Условия задач должны быть записаны полностью, необходимые схемы и таблицы вычерчиваются карандашом.

Решения задач могут быть проделаны вручную, тогда ответ должен быть получен с точностью до трех значащих цифр. Допускается выполнение работ с помощью электронных таблиц EXCEL c приложением распечаток таблиц в двух видах: с показом значений и с показом содержания ячеек (то есть, формул). При решении на компьютере точность представленных ответов – 5 цифр после запятой.

Задача линейного программирования должна быть записана в математической постановке (в виде системы равенств и неравенств) и решена либо графически, либо на компьютере с обязательным представлением графической иллюстрации.

Контрольная работа высылается в КемТИПП не позднее, чем за месяц до начала сессии (при выполнении на компьютере - с приложением дискеты, содержащей таблицы EXCEL). Возможен вариант пересылки контрольных работ, полностью выполненных на компьютере (с текстовым комментарием в виде документа WORD), электронной почтой по одному из адресов e-mail:

[email protected]

[email protected]

Файлы WORD и EXCEL в этом случае должны иметь формат RTF и быть приложены к письму. В качестве темы (Subject) указываются город, шифр учебной группы и фамилия студента.

Решение проводится в соответствии со своим вариантом задания. Вариант выбирается в зависимости от личного шифра студента, как остаток от целочисленного деления шифра на 25 (то есть, как и в курсе информатики). Исключение – задача линейного программирования, где вариант – это остаток от деления шифра на 15. Если остаток равен нулю, берется вариант 25 (или 15).

5.1. Контрольная работа № 1

Задача 2. Имеется кривошипно-ползунный механизм. Известно три положения звеньев: j_1i и S_i, i = 1, 2, 3.

Определить: L₁, L₂, Е.

Кривошипно-ползунный механизм.

L₁ - кривошип; L₂ - шатун; E – дезаксиал.

Указания: Для построения математической модели следует найти проекции L₁ и L₂ на оси Х и У и выразить S и E через эти проекции:

S = L₁cos j₁ + L₂cos j₂, E = L₁sin j₁ + L₂sin j₂

Для сокращения количества неизвестных необходимо избавиться от j₂. В этом поможет известная из школьного курса формула:

cos² j₂ + sin² j₂ = 1.

Чтобы ею воспользоваться, следует в записанных формулах слагаемые с j₂ перенести в левую часть, остальные оставить в правой и обе части возвести в квадрат, затем найти сумму полученных соотношений и упростить её:

(L₂ cos j₂)² = (S - L₁ cos j₁)², (L₂ sin j₂)² = (E - L₁ sin j₁)²,

S² = L₂² - L₁² - E² + 2L₁S cos j₁ + 2L₁E sin j_1.

Введём новые переменные х₁, х₂ и х₃ для сокращения записи уравнения:

x₁ = L₂² - L₁² - E², x₂ = 2L₁, x₃ = 2L₁E.

Тогда

x₁ + (S cos j₁) x₂ + (sin j₁) x₃ = S²

Итак, уравнение с тремя неизвестными величинами выведено. Учитывая известные три положения шатуна, следует записать систему трёх уравнений с тремя неизвестными. Решив её, то есть, найдя величины х₁, х₂ и х₃, следует найти первоначальные неизвестные:

L₁ = x₂/2; Е = x₃ /(2L₁); L₂ =

№
i
j1, °
S, м	0,428	0,173	0,245

5.2. Контрольная работа № 2

Задача 1. (Одномерная оптимизация). Для упаковки жидких пищевых продуктов используется упаковка типа "тетрапак" одного из двух видов

Вид "А" (соки): Вид "Б" (молочные продукты):

Для склеивания упаковок вдоль швов предусмотрены припуски шириной b. Геометрические характеристики упаковок и наложенные на них ограничения и связи приведены ниже в таблице для разных вариантов. Необходимо определить размеры упаковки заданного объема, на изготовление которой будет израсходовано наименьшее количество картона.

Для решения задачи следует:

1. Рассмотреть использованную упаковку подходящего типа, определить расположение клеевых швов и припусков и построить развертку упаковки. При необходимости дополнить упаковку до прямоугольника (при раскрое картона вырезаются заготовки в форме прямоугольника, а отрезанные от прямоугольников куски так или иначе идут в отходы). Выразить размеры и площадь прямоугольника через геометрические параметры упаковки.

2. Используя связи между геометрическими параметрами упаковки, привести задачу к одномерной, исключив из выражения площади заготовки часть размеров.

3. Определить значение оставшегося размера, при котором площадь прямоугольной заготовки окажется минимальной.

4. Определить значения остальных размеров упаковки.

Варианты заданий:

№	Вид	V, л	a°	b, см	Связи геометрических размеров
	В				B=1.2A

VI. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ

1. Основные понятия математического моделирования. Этапы создания математической модели.

2. Классификация математических моделей.

3. Адекватность и точность математических моделей.

4. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом половинного деления.

5. Решение нелинейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений. Условие сходимости метода.

6. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом последовательных приближений. Условия сходимости метода.

8. Интерполирование сеточных функций: линейная интерполяция.

9. Интерполирование сеточных функций: алгебраическая полиномиальная интерполяция.

10. Дифференцирование сеточных функций.

11. Интегрирование сеточных функций

12. Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения методом Эйлера

13. Принцип метода стрельбы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

14. Виды дифференциальных уравнений в частных производных.

15. Граничные условия к уравнениям в частных производных.

16. Принцип решения уравнений в частных производных методом сеток.

17. Общие принципы постановки задач оптимизации. Классификация задач оптимизации.

18. Решение одномерных задач оптимизации методом половинного деления.

19. Задачи линейного программирования (ЗЛП). Графический метод решения двумерной ЗЛП.

20. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессия.

21. Преобразование переменных для построения степенной и экспоненциальной регрессий методом наименьших квадратов.

VII.БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

1. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике. – М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001. – 496 с.

2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. - М: Высшая школа, 2002.- 840 с.

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. – М: Финансы и статистика, 1999. – 256 с.

4. Гельман В.Я. Решение математических задач средствами EXCEL. – СПб: Питер, 2003. – 240 с.

5. Ларсен Р.У. Инженерные расчеты в EXCEL. – М: Вильямс, 2002. – 544 с.

6. Орвис В Дж. EXCEL для ученых, инженеров и студентов. – Киев: Юниор, 1999. – 528 с.

Семенов Андрей Германович

Математические модели в инженерной практике

Учебное пособие

Редактор Л.М. Борискина

Художественный редактор Л.П. Токарева

Подписано к печати 17.12.03. Формат 60´84/16. Уч.-изд. л. 6,25. Тираж 350 экз. Заказ № 215. Цена 25 руб. Отпечатано на ризографе.

Кемеровский технологический институт пищевой промышленности, 650056, г. Кемерово, б-р Строителей, 47. Отпечатано в лаборатории множительной техники КемТИППа, 650010, г. Кемерово, ул. Красноармейская, 52.

Дата добавления: 2017-01-13