Гаусстыњ квадратуралыќ формулалары. 1 страница

Мысал

Кері жол

Тура жол

Кері жол алгоритмі

Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта анықтаймыз.

сандары қаншалықты азайған сайын есептеу қателігі де азаяды. Сондықтан ЭЕМ-ді қолданып есептеу уақытында осы әдіс тиімді деп есептеледі.

Ескерту. Егер жүйе өте көп белгісіздерден тұрып, оның барлық элементтерінің арасынан модулі бойынша үлкен элементті табу қиынға соқса басшы жол ретінде жүйенің бірінші жолын, ал басшы элемент ретінде осы жолдың модулі бойынша ең үлкен элементін алуға болады.

2-мысал:

(3.18)

Есептеу қадамдарының нәтижелерін 3- кестеге толтыруға болады:

3- кесте. (3.18) – есептің кестелік алгоритмі.

Бөліктер	I	mi	X1	X2	X3	X4	Ai5
I		0.11759 0.14766 0.17923	1.1161 0.1582 0.1968 0.2368	0.1254 1.1675 0.2071 0.2471	0.1397 0.1768 1.2168 0.2568	0.1490 0.1871 0.2271 1.2671	1.5471 1.6471 1.7471 1.8471
II		0.09353 0.11862	1.08825 0.12323 0.15436	0.09634 1.13101 0.16281	0.10950 0.13888 1.177077		1.32990 1.37436 1.41604
III		0.07296	1.07381 0.10492	0.08111 1.11170			1.19746 1.20639
IV			1.06616				1.10944

а₄₄=1,2671 басшы элемент болады. 4-жол басшы жол деп аталады.

1. (3.16) - формула көмегімен m_i, i=1,2,3 мәндерін анықтаймыз:

2. (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді табамыз:

i=1; j=1 болғанда

i=1; j=2 болғанда

i=1; j=3 болғанда

i=1; j=4 болғанда

i=1; j=5 болғанда

i=2; j=1 болғанда

i=2; j=2 болғанда

i=2; j=3 болғанда

i=2; j=4 болғанда

i=2; j=5 болғанда

i=3; j=1 болғанда

i=3; j=2 болғанда

i=3; j=3 болғанда

i=3; j=4 болғанда

i=3; j=5 болғанда

Табылған элементтерден жаңа матрица құрып кестенің II-бөлігіне толтырамыз.

3. Жаңа матрицадан модулі бойынша үлкен элементті табамыз: ол - . 3-жолды басшы жол деп аламыз да жаңа көбейткіштерді анықтаймыз:

4. 2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:

5. Осы жаңа матрицадан модулі бойынша үлкені . Тағы көбейткішті есептейміз: .

6. 2-пункттегі сияқты (3.17) – формула бойынша басшы бағанда орналасқан басшы элементтен өзге элементтерді нөлге айналдырамыз да қалған жаңа элементтерді тауып тағы жаңа матрица құраймыз:

;

Кесте да қоршалған басшы элементтер орналасқан жолдардан жүйе құрамыз:

Белгісіздерді біртіндеп табамыз:

X₁=1.04059

X₂=0.98697

X₃=0.93505

X₄=0.88130.

Квадрат түбірлер әдісі.

(3.19)

Жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұратын болса, онда мұндай жүйеге квадрат түбірлер әдісі қолданылады. Әдістің мақсаты ([13] қараңыз) берілген матрицаны бір-біріне түйіндес екі үшбұрыш матрицаның көбейтіндісі түріне келтірейік.

A=S^*DS (3.20)

мұндағы S^*- төменгі үшбұрышты матрица, S- жоғарғы үшбұрышты матрица.

SS^*D матрицасын бір-біріне көбейтіп элементтерін А матрицасының элементтеріне теңестіреміз. Алынған матрицасының диоганалдық элементтері мына формуламен есептелінеді.

ал қалған элементтер үшін мына формула қолданылады:

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Егер берілген матрицаның коэффициенті нақты және бас минорлары оң болса, онда d матрицасын бірлік матрица деп, есептеу мына фолмулалармен жүргізіледі:

(3.21^*)

(3.22^*)

(3.23^*)

(3. 24^*)

(3.25^*)

Бұл формулаларды қолданғаннан кейін шыққан матрицаны мынадай үшбұрышты жүйе құрамыз:

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

Практикада бұл әдіс мына 4-кестені толтырады.

4-кесте. Квадрат түбірлер әдісінің схемасы.

i	x1	x2	x3	bi
	A11	a12	a13	b1
	A21	a22	a23	b2
	A31	a32	a33	b3
	У1	У2	У3	bi
	11			b1
	12	22		b2
	13	23	33	b3
	x1	x2	x3	yi
	S11	S21	S31	y1
		S22	S32	y2
			S33	y3

немесе матрицалық –векторлық түрде:

.

Ал үшбұрышты түрге келтірілген жүйенің белгісіздері қарапайым табылады.

e=0.5*10^-3

Жүйе симметриялы элементтерден тұрады, яғни квадрат түрбірлер әдісін қолдануға болады:

(3.21^*) - формула бойынша:

(3.22^*)-формула бойынша:

(3.23^*) - формула бойынша: j=2,3 формуласы бойынша диагональдық элементтерді табамыз:

s₂₃ элементі әлі табылған жоқ, сондықтан мына формуланы қолданып тауып аламыз:

(3.24^*) - формула бойынша:

. Енді (3.21^*) - формуламен s₃₃-ті табуға болады:

Енді (3.21^*) - формуламен қалған элементтерді табамыз:

=у₂ деп белгілейміз

= у₃ деп белгілейміз

Енді элементтерден S үшбұрышты матрица құраймыз:

Бұдан .

Бақылау сұрақтары:

1. Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін (САТЖ) сандық шешудің неше тәсілі бар?

2. Гаусс әдісі қалай жүзеге асады?

3. Жордан – Гаусс әдісі қалай жүзеге асады?

4. Жордан – Гаусс әдісінің тура әдісі қалай жүзеге асады?

Тақырыбы: Бір айнымалы функцияны кубтық сплайнмен интерполяциялау

Мақсаты: Функцияны интерполяциялау есептерін шығаруды үйрену

Тапсырма:

Тапсырма:

1. Функцияның мәндер кестесі берілген:

Х	1,50	1,54	1,56	1,60	1,63	1,70
У	3,873	3,924	3,950	4,000	4,037	4,123

Лагранж формуласын қолданып көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін анықтау:

a) 1,52 b) 1,55 c) 1,58 d) 1,61 e) 1,67.

2. Функцияның мәндер кестесі берілген:

Х	2,0	2,3	2,5	3,0	3,5	3,8	4,0
У	5,848	6,127	6,300	6,694	7,047	7,243	7,368

Лагранж формуласын қолданып көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін анықтау:

a) 2,22 b) 2,41 c) 2,78 d) 3,34 e) 3,75, f) 3,88.

3. sin(x) функциясының x=0, /6, /4 /3 /2 нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x= /12 нүктесіндегі мәнін және қателігін анықтау.

4. Cos(x) функциясының x=0, /6, /4 /3 /2 нүктелеріндегі мәндерін біле отырып x= /5 нүктесіндегі мәнін және қателігін анықтау.

5. Эйткен схемасын бойынша кестеде берілген функция мәндерін қолданып, берілген нүктелердегі функция мәндерін есептеу:

a) y(27).

Х
У	68,7	64,0	44,0	39,1

b) Y(102).

Х	93.0	96.2	100.0	104.2	108.7
У	11.38	12.80	14.70	17.07	19.91

c) Y(5).

Х
У	658 503	704 969	729 000	804 357	830 584	884 736

4.Кесте түрінде берілген функция үшін Эйткен схемасын қолданып 10^-5 дәрежесі дәлдікке дейін х-тің берілген мәндеріндегі функция мәндерін анықтау:

Х	1,00	1,08	1,13	1,20	1,27	1,31	1,38
У	1,17520	1,30254	1,38631	1,50946	1,21730	1,22361	1,23470

a) 1,134 b) 1,139 c) 1,143 d) 1,151 e) 1,166 f) 1,175 g) 1,182 i) 1,197

k) 1,185 l) 1,192 m) 1,195.

6. Функцияның берілген кестелік мәндер бойынша берілген функция мәніне сәйкес аргумент мәнін анықтау:

a) y=0

Х			2,5
У	-6	-1	5,625

b) y=20

X
Y

c) y=2.00139; y=2.00194; y=2.00373; y=2.00484

X	1.00	1.05	1.10	1.15	1.20	1.25
Y	2.00000	2.00238	2.00909	2.01957	2.03313	2.05000

1. y=e^x функциясының мәндері кестемен берілген. Сызықты интерполяциялау формуласын қолданып функцияның берілген нүктелердегі мәндерін анықтау.

x	0.50	0.51	0.52	0.53	0.54	0.55	0.56	0.57	0.58	0.59	0.60
e^x	1.6487	1.6653	1.6820	1.6989	1.7160	1.7333	1.7507	1.7683	1.7860	1.8040	1.8221

b) 0,507; b) 0,512; c) 0,523; d) 0,535; e) 0,541; f) 0,556; i) 0,568; j) 0,571; k) 0,589; l) 0,594.

2. y=sin(x) функциясының мәндері берілген. Ньютонның сәйкес формуласын қолдану арқылы берілген нүктелердегі мәндерді және қателіктерін анықтау.

X	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7
Sin(x)	0.89121	0.93204	0.96356	0.98545	0.99749	0.999957	0.99166

1.8	1.9	2.0	2.1	2.2	2.3	2.4	2.5
0.97385	0.94630	0.90930	0.86321	0.80850	0.74571	0.67546	0.59847

a) 1,151; b)1,218; c)1,345; d)1,421; e)1,538; f)1,609; i)1,732; j) 1,849; k) 1,929; l) 2,031; m) 2,173; n) 2,218; o) 2,313; p) 2,437; r) 2,478.

3. f(x) функциясының мәндері кестемен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.

X	1.50	1.51	1.52	1.53	1.54	1.55	1.56	1.57	1.58	1.59	1.60
F(x)	0.51183	0.50624	0.50064	0.49503	0.48940	0.48376	0.47811	0.47245	0.46678	0.46110	0.45540

a) 1.50911; b) 1.50820; c) 1.50253; d) 1.50192; e) 1.59513; f) 1.59575; i) 1.59614; j) 1.59728.

4. g(x) функциясының мәндері кестемен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.

x	1.0	1.1	1.2	1.3	1.4	1.5	1.6	1.7	1.8	1.9	2.0
g(x)	0.5652	0.6375	0.7147	0.7973	0.8861	0.9817	1.0848	1.1964	1.3172	1.4482	1.5906

a) 1.113; b) 1.219; c) 1.321; d) 1.428; e) 1.9592; f) 1.9675; i) 1.9728; j) 1.9819.

5. h(x) функциясының мәндері кестемен берілген. Көрсетілген нүктелердегі функция мәндерін Ньютонның формулаларымен анықтау.

	a) 0.01928; b) 0.01392; c) 0.02713; d) 0.47113; e) 0.47531; f) 0.48398; k) 0.48675

x	0.00	0.05	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45	0.50
h(x)	0.28081	0.31270	0.34549	0.37904	0.41318	0.44774	0.48255	0.51745	0.55226	0.58682	0.62096

Тапсырманы орындауға әдістемелік нұсқаулар:

Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі.

(4.4)

Кей жағдайда есептеу процесін жеңілдету үшін x=at+b, x_j=at_j+b j=0,1,…,n сызықты алмастыруын жасау арқылы Лагранж коэффициенттерінің инварианттылығын қолдануға болады, онда (4.4)-формула келесі түрге келеді:

(4.5)

Эйткен схемасы.

Егер Лагранж көпмүшелігінің жалпы өрнегін анықтамай, тек белгілі бір нүктедегі функция мәнін есептеу керек болса, онда Эйткен схемасын қолдануға болады:

т.с.с. (4.6)

Эйткен схемасы келесі 1-кестені толтыру арқылы орындалады.

1-кесте. Эйткен схемасының толтырылу кестесі

xi	yi	Xi-x	Li-1,i	Li-2,i-1,i	Li-3,i-2,i-1,i	…
X0	Y0	X0-x
X1	Y1	X1-x	L01(x)
X2	Y2	X2-x	L12(x)	L012(x)
X3	Y3	X3-x	L23(x)	L123(x)	L0123(x)	…
X4	Y4	X4-x	L34(x)	L234(x)	L1234(x)	…

Эйткен схемасын есептеуді көршілес L_0123…n(x), L_0123…n,n+1(x) мәндері берілген дәлдік маңайында бір бірімен беттессе тоқтатуға болады.

X_i нүктелерінде y_i мәндерін қабылдайтын n-ші дәрежелі интерполяциялық көпмүшелік келсі түрде де жазылады:

. (4.7)

1-Мысал: Кестемен берілген функция үшін Лагранж көпмүшелігін құру.

I				(4.8) 3
xi		0.1	0.3	0.5
yi	-0.5		0.2

Шешімі: (4.4)-формула бойынша n=3, i=0,1,2,3 болғандағы өрнекті анықтаймыз:

Дата добавления: 2017-01-14