Лекция 6 (2 ) Бенчмаркинг как метод продвижения инноваций в социальной сфере 2 страница

(Ответ: а) 0,4; б) 0,2)

Пример 15 л (для самостоятельного решения). По самолетупроизводится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле – 0,5; при втором – 0,6; при третьем – 0,8. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий, при одном попадании – самолет выходит и строя с вероятностью 0,3; при двух – 0,6. Какова вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

(Ответ: 0,594)

Пример 15 м (для самостоятельного решения). Студент знаетответ на 20 экзаменационных билетов из 30. Каким выгоднее ему зайти на экзамен, первым или вторым.

7. Случайные величины и их характеристики

Понятие случайного события непосредственно связано с понятием случайной величины, точное значение которой заранее неизвестно.

Величина, которая в зависимости от обстоятельств может принимать различные значения, называется случайной.

Таким образом, случайная величина характеризуется возможными значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются.

Совместное рассмотрение нескольких случайных величин приводит к системам случайных величин (например, координаты точки попадания снаряда, оценки наудачу взятого абитуриента и т.д.).

Существуют дискретные (их значения – отдельные изолированные числа, в частности, число попаданий в мишень) и

непрерывные (непрерывное множество чисел,в частности,времябезотказной работы прибора) случайные величины, для которых определены числовые характеристики, а также законы или функции распределения.

Для дискретных и непрерывных случайных величин наиболее распространенными являются: биномиальное, геометрическое, равномерное, показательное, нормальное и другие распределения, используемые в различных приложениях при анализе и решении задач, содержащих расчет случайных факторов (см. п.9 далее по тексту).

Дискретные и непрерывные случайные величины (СВ)

Для описания случайных величин используют т.н. распределения и соответствующие им законы или функции.

Закон распределения дискретной случайной величиныустанавливает связь между возможными значениями СВ х и соответствующими им вероятностями p, что можно представить в табличном виде:

	х1		х2	…		хk
	p1		p2	…		pk
Функцией распределения	дискретной	случайной величины

(д.с.в.) имеет вид: F(x) = ∑ _i.

Функцией распределения (интегральной функцией)

непрерывной СВ называется функция F(x), выражающая вероятность того, что случайная величина Х принимает значение меньше чем х: F(x) = p (X < x), 0≤F(x)≤1, F(₂)≥F(₁)при₂≥₁.Геометрически этосоответствует точке на числовой оси, расположенной левее точки х.

Плотность распределения вероятностей непрерывной СВ:

x	Ґ
ў	т f (x) dx =1.
f (x)= F (x)® F (x)=т f (x) dx,при этом
-Ґ	-Ґ

Вероятность попадания значения непрерывной СВ в заданныйинтервал (а; b):

p (a; b)= F (x О(a; b))=т ^b	f (x) dx = F (b)- F (a)
a	.

Числовые характеристики СВ

Во многих практических задачах нет необходимости иметь распределение случайной величины, а достаточно воспользоваться ее числовыми характеристиками, которые показывают основные особенности распределения.

Математическое ожидание (среднеожидаемое значение СВ)-среднее вероятностное значение СВ в центре ее распределения:

МХ =^еx_ip_iили МХ= ^Ґ_т xf (x) dx

-Ґ

Дисперсия (рассеяние) – математическое ожидание квадрата

отклонения СВ Х от ее математического ожидания МХ:
DX=М[(x - MX)^2] = (xi–M(x))^2pi=∑(М(х^2)) −М^2	(х)
	DX =^Ґт
или	(x - MX) ^2 f (x) dx
-Ґ	.

Дисперсия СВ определяет ее среднее квадратичное отклонение,

как меру рассеяния значений СВ около ее математического ожидания:

s x = DX.

Модой М0 дискретной СВ Х называется ее наибольшее вероятноезначение.

Модой М0 непрерывной СВ Х называется такое ее значение,прикотором плотность распределения вероятности максимальна.

Медианой Ме непрерывной СВ называется такое ее значение Х,для которого F(X=M_e) = 0,5.

Пример 16. Зная закон распределения дискретной СВ:

х
р				0,05	0,25		0,2	0,1
Найдите функцию ее распределения F(x).
Решение:	х≤1;
0,
0,05,			1< х≤ 2;
0,3,			2< х≤ 3;
F(x) =	0,7,		3< х≤ 4;
0,9,			4< х≤ 5.
1,			5< х.

Полученная функция распределения F(x) – разрывна со скачками в точках х_i, а ее график имеет ступенчатый вид, при этом значения F(x) устанавливаются с накоплением.

Пример 16а. Дан закон распределения дискретной случайнойвеличины (ДСВ):

х
р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение для заданного распределения, найти моду ДСВ.

Решение: МХ= ∑x_ip_i= 2∙ 0,1 +4∙0,2 + 7∙0, 4 + 9∙0,2 +11∙0,1 =

6,7

Для нахождения DХ по соответствующей формуле, вместо (х_i – МХ)² ∙Р_i найдем М(х²) согласно таблице:

Дата добавления: 2017-01-14