Лекция 6 (2 ) Бенчмаркинг как метод продвижения инноваций в социальной сфере 8 страница

Выборочное среднее –это среднее арифметическое наблюдаемыхзначений выборки:

̅	е ^xi ^pi,		ni
Х=		где pi =	n	- частость.

Отметим, что на практике в качестве оценки математическогоожидания может использоваться среднее арифметическоевыборочных данных.

За меру рассеивания значений выборки по отношению к ее

среднему принимается выборочная статистическая дисперсия:

	̅̅̅
или DX =
DХ = ∑(− ̅)		- ̅, для которой при решении
			̅̅̅̅̅
практических задач (n≤30) используется величина	= S		=	−1^DX,

называемая эмпирической или исправленной выборочной дисперсией (несмещенной оценкой дисперсии), см далее п.4.

Выборочное среднее квадратичное отклонение: = √ или S =√̅̅̅̅ (эмпирический стандарт).

Зная указанные параметры, можно найти отношение среднего квадратичного отклонения к средней величине признака, выражаемое

в процентах, - коэффициент вариации V = _̅ ∙ 100%.

Часто в качестве характеристик вариационного ряда x_i используются также понятия моды и медианы.

Модой М0* вариационного ряда называется варианта,имеющаянаибольшую частоту.

Медиана Ме* -это признак Х,приходящийся на серединувариационного ряда.

В частности, воспользовавшись статистическими данными из Примера 23д. получим следующие значения выборочных параметров:

^x = 15,75; D=25,42; ^s = 5,04; М₀* = 15; Ме* = 15.

14. Статистическая оценка параметров распределения

При изучении случайной величины Х с законом распределения, зависящим от одного или нескольких параметров, требуется по известной выборке х₁, х₂, … х_п, полученной в результате наблюдений

(опытов), оценить некоторый параметр q.
̃	параметра	теоретического
Статистической оценкой

распределения выборки называют его приближенное значение, зависящее от этого выбора.

Таким образом оценка ^̃ является значением некоторой функции результатов наблюдений над случайной величиной, а сама функция при этом называется статистикой.

Очевидно статистика ^̃ зависит от объема n выборки и при ее удачном построении следует ожидать, что для больших n значение статистики приближается к истинному значению параметра.

К оценке любого статистического параметра на практике предъявляется ряд требований, которым она должна удовлетворять, чтобы быть близкой к своему истинному значению и максимально соответствовать реальности.

Качества оценки определяют, проверяя, обладает ли она

свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценка q параметра q называется несмещенной, если М q = q, т.е. математическое ожидание случайной величины q должно быть равно значению параметра q. Например, выборочное среднее ̅Х служит несмещенной оценкой математического ожидания СВ Х.

̃	называется состоятельной, если она сходится по
Оценка
вероятности к оцениваемому параметру: q	п	ѕѕѕ® q. Это означает, что
		п ®Ґ

с увеличением объема выборки мы все более приближаемся к истинному (достоверному) значению q.

̃	называется эффективной, если ее
Несмещенная оценка
дисперсия минимальна.

В частности, выборочное среднее является несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой для математического ожидания генеральной совокупности.

Статистическая оценка, используемая в качестве приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности,

называется ее точечной оценкой.

Точечные оценки хороши в качестве первоначальных результатов обработки наблюдений, однако заранее неизвестно с какой точностью они представляют оцениваемый параметр.

В результате возникает задача о приближении параметра q не одним числом, а целым интервалом значений (в частности концами интервала), при этом оценка неизвестного параметра будет называться

интервальной,а интервал(^̃₁;^̃₂)накрывающий с вероятностью g истинное значение параметра, - доверительным интервалом и

вероятность g - надежностью оценки или доверительнойвероятностью.

В частности, доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения СВ при

известном	среднем		квадратичном	отклонении	генеральной
									̅
совокупности с объемом выборки n определяется неравенством: Х −
̅
< МХ < Х	+, где	=			, при этом t - параметр функции Лапласа,
√
определяемый из соответствующих таблиц по формуле: Фо =		, где Ф*
= Фо + 0,5.
						нормально
Если	среднее			квадратичное	отклонение

распределенной СВ неизвестно, но по результатам выборки вычислены

̅

параметры Х

и S

=

−1DX, то тогда доверительный интервал для

̅

математического ожидания определяется неравенством: Х - ґ < МХ ≤

̅

∙

Х + ґ, где ґ =

, а- находится из таблиц Стьюдента по заданным

√

и ν

= n-1

(см. Стат. таблицы).

Пример 24.Из генеральной совокупности извлечена выборка:

xi

ni

Найти несмещенную точечную оценку генеральной средней.

Решение: Несмещенноегенеральноесреднееявляется

выборочной средней:

̅

Х =

50(2∙ 8 + 5∙ 25 + 7∙ 10 +10∙ 5 +13∙ 2) = 16 + 125 + 70 + 50 + 26 =

= 5,74.

Дата добавления: 2017-01-14