Лекция 6 (2 ) Бенчмаркинг как метод продвижения инноваций в социальной сфере 4 страница

(закон редких событий).

Этому закону обычно подчиняются случайные величины, задающие простейшие потоки стационарных событий (число вызовов на АТС, число заказов бытовых услуг, количество случайных дефектов и т.д.)

Пример 19. Телефонная станция обслуживает2000абонентов.Вероятность позвонить абоненту в течении часа равна 0,003. Какова вероятность того, что в течении часа позвонят пять абонентов.

Решение: п= 2000,р= 0,003,т= 5,а=пр= 6,поэтому Р₅= 0,13.

Пример 19а (для самостоятельного решения). Сообщениесодержит 1000 символов. Вероятность искажения одного символа равна 0,004. Найти среднее число искаженных символов в сообщении. Найти вероятность того, что будет искажено не более трех символов.

(Ответ: 4; 0,433)

Пример 19б (для самостоятельного решения). Вероятностьпоявления нестандартной детали равна 0,05. Контроль проверяет партию деталей, беря по одной до первого появления нестандартной детали, но не более трех штук. Найти математическое ожидание и дисперсию числа проверенных стандартных деталей.

(Ответ: 2,85; 0,225)

Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке[a; b],если ее плотность вероятностипостоянна на этом отрезке

f(x) = ₋ и вне его равна нулю, например, вероятность

телефонного звонка в промежутке от 19²² до 19⁴⁶ при равномерном распределении времени ожидания между 19⁰⁰ и 20⁰⁰ равна Р = ²⁴₆₀ = 0,4.

Непрерывная СВ имеет показательное распределение, если

Р(х) = 1 – ⁻ , х≥0; Р(х) = 0, х<0 при этом М(х) = ¹, D(х) = ¹₂,

(х) = ¹

Например, среднее время х работы элемента при f(x) = 0,03 е^-0,03х,

х ≥ 0равно М(х) = 333,3часа,а вероятность того,что элементпроработает не менее 400 часов, равна е^{−0,003∙400} ≈ 0,3.

Исключительную роль в теории вероятностей играет нормальное распределение случайных величин (закон Гаусса), к которому приопределенных естественных условиях приближаются все другие распределения:

Р(Х) =		ехр (–	(х−а)^2	), где а и > 0 − параметры нормального
	∙√2		2 ^2

распределения: а - математическое ожидание случайной величины Х, - среднее квадратичное отклонение.

Нормальному закону подчиняются, например, такие случайные факторы, как ошибки измерений, степень износа деталей, величина радиошума, колебание курсов акций и т.д.

Вероятность попадания значений нормальной случайной величины Х в интервал (,) определяется формулой: Р(< <) =

Ф_о( ⁻) – Ф_о( ^−а), где Ф_о(Х) – функция Лапласа, для которой имеются специальные таблицы, где Ф*(Х) = Ф_о(Х) + 0,5.

Пример 20. Найти вероятность того,что нормальная случайнаявеличина с математическим ожиданием а = 3 и дисперсией D = 4, будет принимать значения в интервале (-1; 5).

Решение: Из условия примера следует,что = -1, = 5, а = 3, ₌

√ = √4 =2, поэтому
Р(-1<X< 5) = Фо(^5−2	^3) - Фо(^−12^−3) = Фо(1) - Фо(-2) = Фо(1) + Фо(2) =

0,34 + 0,48 = 0,82 (см. таблицы значений Ф_о).

С помощью функции Лапласа определяются также вероятности отклонений нормальных случайных величин Х:

Р(| − а|<) = 2 Фо().

Пример 20а. При измерениях деталей присутствуют случайныеошибки, следующие нормальному закону с параметром = 10 мм. Найти вероятность того, что измерения производятся с ошибкой, не превосходящей 15 мм.

Решение: Из условия следует,что= 10, = 15,поэтомуР(| − а|< 15) = 2 Ф_о(¹⁵₁₀) = 2 Ф_о(1,5) = 0,866 (см. таблицы значений

Ф_о).

9. Системы случайных величин

При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело не с одной, а несколькими СВ, совместное рассмотрение которых приводит к системам случайных величин.

Например, к двумерной СВ приходят, интерпретируя ее как точку М(Х; У) или вектор на плоскости (выпавшие цифры на двух игральных кубиках и т.д.)

На двумерные (многомерные) СВ практически без изменений переносятся все основные понятия и определения, относящиеся к уже рассмотренных ранее одномерным СВ.

В частности, математическим ожиданием двумерной СВ (Х; У) называется совокупность двух математических ожиданий МХ и МУ, определяемых равенствами: МХ = ∑∑xi pi, MY = ∑∑ yi pij, или

МХ =∫₋^∞_∞ ∫₋^∞_∞ (,), MY = ∫₋^∞_∞ ∫₋^∞_∞ (,), и т.д.

Важнейшими характеристиками системы СВ являются закон и функция ее распределения: F (x; y) = Р {X<x; Y<y} = ∑∑ p_ij, i = 1, 2, …n, j = 1,2, …m.

Для характеристики связи между величинами Х и Y служит корреляционный момент К _xy (ковариация(Х;У)),который удобновычислять по формуле:

К _xy = МХУ - МХ∙МY, где МХУ = ∑∑х_i y_j p_ij при этом коэффициенткорреляции двух СВ Х и У определяется равенством:

r^xy = ^Кху, где ^х и ^у - среднеквадратичные отклонения Х и У.

_х∙ _у

Корреляционный момент К_ху и коэффициент корреляции r_xy характеризуют степень линейной зависимости Х и У.

Пример 21. Задано распределение системы ДСВ:

	Х/У
			0,16		0.12			0,08
			0,28		0,11			0,25
	Найти законы распределения составляющих Х и У, функцию
распределения F(xy) и rxy.
		Решение:
	Х
	Р			0,36		0,64
	У
	Р		0,44		0,23		0,33
	ХУ		-1
	Р		0,2		0,7		0,1

Дата добавления: 2017-01-14