Лекция 6 (2 ) Бенчмаркинг как метод продвижения инноваций в социальной сфере 9 страница

Пример 24а. Найти с надежностью0,99доверительный интервалдля оценки неизвестного математического ожидания МХ нормально

распределенного признака Х генеральной совокупности, если Х̅ = 20,5; n = 30; = 3.

Решение: Из условия следует Ф_о= 0,495;тогдаt =2, 58(см.таблицузначений функции Лапласа), = ^∙ _√ = 1,29 и (20,5 – 1,29 < МХ < 20,5 +

1.29) или (19,21; 21,79).

Пример 24б (для самостоятельного решения). Автомат,

работающий со стандартным отклонением = 5 г, фасует чай в пачки со средним весом ̅Х = 101 г. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для среднего веса пачки чая в генеральной совокупности со случайной выборкой объемом n = 30.

Указание: = 0,95;Ф_о(t) = 0,475; t = 1,96.(Ответ: 99,21; 102,79).

Пример 24в. Оценить с надежностью0,95математическоеожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней с помощью доверительного интервала.

Решение:

xi

ni

Имеем: n = 100; = 0,95; откуда t =1,96

̅̅̅

Х

= (400 ∙ 4 + 900∙11 +1600∙1 + 2500∙30 + 3600∙15 + 4900∙ 10 +

6400∙5)

= 16 + 99 + 240 + 750 + 540 + 490 + 320 = 2455;

̅

= (20∙ 4 + 30∙11 + 40∙ 15 + 50∙30 +60∙15 + 70 ∙ 10 + 80 ∙ 5)

Х =

= 0,8 + 3,3 + 6 + 15 + 9 + 7 + 4 = 45,1;

̅̅̅

̅̅̅

D = Х

- Х

= 2455 – 2034 = 421;

= √

= 20,52;

=

1,96 ∙20,52

= 4,02; в итоге доверительный интервал 45,1 – 4,02 <

< 45,1 + 4,02

или 41,08 < < 49,12.

Пример 24г. Глубина моря измеряется прибором,систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально с = 15 м. Сколько нужно сделать

независимых измерений, чтобы определить глубину моря с ошибкой не более 5 м при надежности = 0,9.

Решение: Воспользуемся формулами = _√, Ф_о = ₂. Из условия

задачи имеем:

= 5; = 15; = 0,9; Ф_о(t) = 0,45. И таблиц Лапласа находим t = 1,65; откуда получим n = 24,5, т.е. нужно не менее 25 измерений.

Пример 24д (для самостоятельного решения). Результатыизмерения среднего роста студентов представлены интервальной статистикой:

xi
ni

Найти точечную оценку и доверительный интервал для среднего роста студентов, считая = 0,95.

Решение: Используя соответствующие формулы имеем

̅Х = 167,6; S = 9,28; = 0,95; n =29, откуда по таблице Стьюдента для доверительной вероятности γ=0,975 и параметра ν = n-1 находим = 2,05; следовательно = 3,47 и доверительный интервал (164,13; 171,07).

16. Статистическая проверка гипотез

Как уже отмечалось, одна из задач, связанных с применением статистических методов, состоит в решении вопроса о том, должно ли на основании данной выборки быть принято или отвергнуто предположение (гипотеза) относительно некоторого свойствагенеральной совокупности (случайной величины).

Например, новое лекарство испытано на определенном числе людей. Можно ли сделать обоснованный вывод о том, что это лекарство более эффективно, чем применявшееся ранее.

Сопоставление высказанного предположения с имеющимися выборочными данными называется проверкой гипотез.

В частности, под статистической гипотезой понимают всякое высказывание (предположение) о генеральной совокупности, проверяемое по выборке, при этом статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

На практике, одна из гипотез выделяется в качестве основной (нулевой), а другую, являющуюся логическим отрицанием первой, - в качестве конкурирующей (альтернативной) гипотезы. В результате,

имея две гипотезы, надо на основе выборки принять либо основную, либо конкурирующую.

Правило (значение случайной величины), на основании которого принимается решение о принятии или отклонении гипотезы называется

статистическим критерием или критерием проверки гипотезы,

например известные критерии согласия Пирсона, Колмогорова, Фишмана и др., используемые для проверки законов распределения случайных величин.

Совокупность значений критерия, при которых отвергается нулевая гипотеза, называют критической областью.

Вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, если она верна (или принять конкурирующую гипотезу), называется ошибкой первого рода или уровнем значимости и обозначается, а величина = 1 −, равная вероятности принять нулевую гипотезу, называется уровнемдоверия. Аналогично вероятность принять основную гипотезу,еслиона неверна, называется ошибкой второго рода и обозначается, при этом соответственно вероятность 1 – принять конкурирующую гипотезу, если она верна, называется мощностью критерия.

Схема проверки статистической гипотезы не дает точного вывода о ее верности или неверности, так как принятие гипотезы всегда происходит на некотором субъективно принятом уровне надежности и основывается на анализе значений конечной выборки. В итоге принятие гипотезы означает, что на заданном уровне надежности нулевая гипотеза не противоречит выборочным данным.

Дата добавления: 2017-01-14