Лекция 6 (2 ) Бенчмаркинг как метод продвижения инноваций в социальной сфере 10 страница

Таким образом, для проверки статистической гипотезы H_о сначала по выборочным данным строится статистика ^̃, имеющая определенные параметры распределения, затем, используя значение доверительной вероятности для принятия гипотезы, делается вывод о ее справедливости в условиях имеющейся выборки.

Пример 25. Автомат,работающий со стандартным отклонением- 1, фасует чай в пачки со средним весом 100 г. В случайной выборке объемом n = 25 средний вес х̅ = 101,5. Нужно ли отрегулировать

автомат при доверительной вероятности 0,95.

Решение: ГипотезаH_о–МХ= 100;Гипотеза Н₁–х≥100;=^0,95₂= 0,475, откуда t = 1,96 (см. таблицу функции Лапласа) и статистика

tґ =^{х̅− МХ} = ^101,5−100 = 7,5 > 1,96, поэтому нулевая гипотеза отклоняется

/√ 1/√25

и принимается альтернативная на уровне доверия 0,95. Автомат нужно отрегулировать в сторону уменьшения х̅.

Пример 25а (для самостоятельного решения). Станокработающий с отклонением 0,5 мм, производит детали средней длины 20 мм. В случайной выборке объемом n = 16 деталей средняя длина х̅ = 19,8 мм. Правильно ли настроен станок, если требуемый уровень значимости 1 %.

Указание: (см.пример25)Н_о–МХ= 20;Н₁-х̅ < 20.И условия= 0,495 следует t = 2,326 и статистика tґ = −1,6 > - 2,326, т.е. гипотеза Н_о принимается и станок работает правильно.

На практике часто встречаются ситуации, когда среднее значение данных одного эксперимента отличаются от среднего значения данных другого, хотя условие эксперимента являются схожими. Тогда возникает вопрос, можно ли считать это расхождение незначимым, т.е. чисто случайным, или оно вызвано различием двух генеральных совокупностей. Например, такие вопросы возникают при исследовании надежности технических систем, где сравниваются результаты измерений; при контроле качества различных партий изделий; при сравнении уровня доходности активов в финансовых расчетах.

Пусть имеются выборки {х₁, х₂, … х ₁} и {у₁, у₂, … у ₂} из генеральных совокупностей Х₁ и Х₂ и дисперсии ₁² и ₂² известны.

Гипотеза Н_о состоит в том, что средние распределения равны, т.е. Н_о: a₁ = а ₂, при этом Н₁: а₁ ≠ а _2. Тогда статистика вычисляется по

формуле
t =		х̅ − у̅		и будет иметь стандартное нормальное распределение
	√	1	+	2
		1		2

N(0; 1).

Пример 25б. Было произведено12измерений диаметра вала(мм).При этом оказалось, что среднее х̅₁ = 10,2, а стандартное отклонение ₁ = 0,05. Затем вал поместили в условия с высокой температурой и произвели еще 8 измерений диаметра его оси. Среднее на этот раз оказалось равным 10,25, а стандартное отклонение – 0,06. Можно ли сделать вывод при 5 %-м уровне значимости, что диаметр вала существенно увеличился при увеличении температуры.

Решение:

х̅₁ = 10,2; ₁= 0,05; n₁ = 12; х̅₂ = 10,25; ₂ = 0,06; n₂ =8.

Гипотеза Н_о состоит в том, что а₁ = а₂, против конкурирующей а₁

≠ а₂.

Будем считать, что результаты измерений диаметра вала являются нормально распределенными случайными величинами с известными дисперсиями ₁² и ₂².

Для проверки гипотезы Н_о составим статистику

̅̅̅х − ̅̅̅х

10,2 – 10,25

t =

=

= - 1,9487.

0,05

√

+

0,06

√

1

+

2

Так как при уровне значимости = 0,05 критическое значение нормального распределения _кр. = 1,96 и | | < _кр., то гипотеза Н_о на уровне доверия 0,95 принимается и можно считать, что диаметр вала существенно не увеличивается в условиях повышенной температуры.

Пример 25 в (для самостоятельного решения). Для проверкиэффективности производства отбирают две группы рабочих: в первой группе численностью n₁ = 50, где применялась новая технология, средняя выработка х̅₁ = 85 ед., дисперсия ₁= 10,2; во второй группе с традиционным подходом n₂ = 60, х̅₂ = 80 и ₂ = 8,2. Определить, при уровне значимости 0,05, степень влияния новой технологии на результаты труда.

Указание: см.решение к примеру25б.

Одной из главных задач математической статистики является установление истинного закона распределения случайной величины на основании экспериментальных данных. Вид этого закона определяют из общих технических, финансовых и других соображений, учитывая схожесть условий эксперимента с исследованными ранее, или из теоретических предпосылок.

На практике о виде закона распределения можно судить по графику выборочной плотности распределения вероятностей. Параметры закона распределения обычно неизвестны и их заменяют на выборочные значения. Однако, как бы мы ни выбирали вид закона распределения и его параметры, полной уверенности в том, что на определенном уровне доверия выбранный закон согласуется с данными выборки, не существует.

В соответствии с этим критерии, устанавливающие законы распределения, называются критериями согласия.

Существуют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера и др., реализация которых является предметом самостоятельного изучения [6].

Дата добавления: 2017-01-14