Логические операции над высказываниями

Пример 1.1

Понятие высказывания

Высказывания и операции над ними.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Лабораторная работа № 1

Ответственность

Требования безопасности по окончании работы

Требования безопасности в аварийной обстановке

4.1. Выключить оборудование и ПЭВМ, при необходимости выключить рубильник.

4.2. Сообщить о случившемся преподавателю.

4.3. Не пользоваться оборудованием и ПЭВМ до полного устранения неисправности.

4.4. При получении травмы и внезапном заболевании немедленно известить руководителя.

5.1. Выключить измерительные приборы и оборудование и ПЭВМ.

5.2. Привести в порядок рабочее место, сдать рабочее место преподавателю.

5.2. О всех замечаниях и недостатках в работе измерительных приборов, оборудования и ПЭВМ сообщить преподавателю.

6.1. Ответственность за выполнение инструкции несет заведующий кабинетом (лабораторией).

ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение логических операций над высказываниями и приобретение практических навыков их применения.

Высказывание – первый важнейший объект изучения математической логики. На основе высказываний, обозначенных буквами, и алгебраических операций была создана алгебра, которая была названа алгеброй высказываний или ее еще называют алгеброй логики. Алгебра высказываний изучает способы построения высказываний из уже имеющихся высказываний и закономерности таких способов сочетания высказываний. Она является фундаментом математической логики.

Предметом исследования алгебры высказываний являются высказывания. Однако она не ставит своей целью их всестороннее изучение. Из всех свойств высказываний алгебру высказываний интересует лишь одно: истинно оно или ложно. Именно это и является определяющим свойством высказывания. При этом основным понятием математической логики является понятие «простого высказывания». В общем случае можно таким образом охарактеризовать высказывание.

Высказывание – это утвердительное повествовательное предложение, которое для данных условий места и времени является либо истинны м, либо ложным. Если о предложении нельзя сказать, истинно оно или ложно, то оно не является высказыванием.Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь». Высказывание не может быть одновременно и истинным и ложным. Высказывания могут быть выражены с помощью слов, а также математических, химических и прочих знаков. Приведем примеры высказываний.

1. Марс дальше от Солнца, чем Земля (истинное высказывание).

2. Бонн – столица Германии (ложное высказывание).

3. Окунь не рыба (ложное высказывание).

4. 2 + 6 > 10 (ложное высказывание).

5. Сумма чисел 2 и 6 больше числа 10 (ложное высказывание).

6. Число 12 делится на 3 и на 4 (истинное высказывание).

7. Река Урал впадает в Каспийское море (истинное высказывание).

8. Если человек учится в высшем учебном заведении, то он является студентом (истинное высказывание).

9. В пределах нашей Галактики существуют внеземные цивилизации (это высказывание либо истинно, либо ложно, но пока неизвестно, какая из этих возможностей выполняется, и, следовательно, оно не является высказыванием для настоящего времени).

Высказывания 4 и 5 означают одно и то же, но выражены по-разному. Но не всякое предложение является высказыванием. Как видно из данного нами определения, высказываниями не являются вопросительные и восклицательные предложения. Например, «Как здоровье?», «Стой!», «Пейте томатный сок!».

Не являются высказываниями и определения типа «Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны». Здесь лишь устанавливается название некоторого объекта. Поэтому определения не могут быть истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов.

Не относятся к высказываниям также предложения «Он кареглаз» или «», так как в них не указано, о каком человеке идет речь или при каких рассматривается равенство. Такие предложения с неизвестным членом (переменной) называют неопределенными высказываниями. Заметим, что предложение «Некоторые люди кареглазы» или «для всех справедливо равенство «» уже являются высказываниями (при этом первое из них истинно, а второе ложно).

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется простым, или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1, 2, 4, 5 и 7.

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если…, то…», «тогда и только тогда», называются сложными или составными.

Так, высказывание 3 получается из простого высказывания «Окунь – рыба» с помощью отрицания «не». Высказывание 6 образовано из элементарных высказываний «Число 12 делится на 3», «Число 12 делится на 4», соединенных союзом «и». Высказывание 8 получается из простых высказываний «Человек учится в высшем учебном заведении» и «Он является студентом» с помощью грамматической связки «если…, то …». Таким же образом из простых высказываний могут быть получены сложные высказывания с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре высказываний все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения (истина или ложь), а от их житейского содержания отвлекаются.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать малыми буквами латинского алфавита: x, y, z,…,a, b, c,… При этом истинное значение высказывания обозначим буквой «И» или цифрой «1», а ложное значение – буквой «Л» или цифрой «0».

В литературе имеются и другие обозначения высказываний. Так для истинных используется буква t (от англ. true – истинный), а для ложных – буква f (от англ. false – ложный). Но чаще используются обозначения 0 и 1. Это обусловлено рядом причин.

Во-первых, таблицы истинности, о которых будем говорить чуть дальше, для формул алгебры высказываний принимают более лаконичный и стандартизованный вид.

Во-вторых, более удобный и математически строгий вид принимают многие формулы и алгоритмы алгебры высказываний.

В-третьих, обозначение 0 и 1 более целесообразно в приложениях математической логики к компьютерам и информатике.

Подобно тому, как из заданных чисел можно получить другие числа с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, так из заданных высказываний получаются новые с помощью операций, имеющих специальные названия: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание, которые означают хорошо известные соединения отдельных предложений связками «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда...», а также присоединение к высказыванию частицы «не».

В математической логике смысл каждого слова четко определен, а чтобы обыденное толкование слов не влияло на их употребление, сами связки заменяются особыми знаками.

Из элементарных высказываний с помощью операций над высказываниями или логических связок строят сложные высказывания. Перейдем к точному описанию таких построений.

1. Отрицание высказывания. Отрицанием высказывания называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание ложно, и ложным, если высказывание истинно.

Отрицание высказывания обозначается и читается «не » или «неверно, что ». Логические значения высказывания можно описать с помощью таблицы 1.1.

Таблица 1.1

Таблица истинности операции отрицания

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.

Таблица истинности – это таблица, в которой всем значениям высказываний (переменных 0 или 1) поставлен в соответствие результат выполнения логической операции над высказыванием или над формулой алгебры логики в виде 0 или 1.

О формулах алгебры логики будет сказано ниже.

Дата добавления: 2017-02-01