Формулы алгебры высказываний

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

РАВНОСИЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.

Лабораторная работа № 2

ЦЕЛЬ РАБОТЫ – изучение формул алгебры логики и равносильных преобразований над ними.

С помощью логических операций, рассмотренных в предыдущем разделе, из заданной совокупности простых высказываний можно строить более сложные высказывания.

Формула алгебры высказываний (алгебры логики) – это всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности.

Формулы алгебры логики обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита: А, В, С, … Порядок выполнения операций в формуле указывается скобками. Скобки можно опускать, придерживаясь следующего порядка действий: , то есть отрицание выполняется раньше всех операций, конъюнкция – раньше, чем все оставшиеся операции, дизъюнкция – раньше, чем импликация и эквивалентность. Если над всей формулой стоит знак отрицания, то скобки тоже опускаются. Вместо знака конъюнкции & или можно ставить точку либо вообще ничего не ставить.

Пусть имеются три высказывания . Над ними с помощью логических операций можно составить любое количество сколь угодно сложных выражений, которые согласно определению и будут являться формулами. Например, выражения

, ,

являются формулами. Первая из них есть импликация, посылка которой является конъюнкция высказываний и , а следствием – отрицание высказывания . Таким же образом можно описать и другие формулы.

С учетом приоритетности выполнения логических операций и опускания знака конъюнкции, данные формулы можно записать более компактно и наглядно:

, , .

Здесь вторая формула не упрощается, так как если убрать скобки, то изменится порядок (приоритетность) выполнения операций.

Нам более привычны формулы типа (формула длины круга) или (формула потенциальной энергии тела) и им подобные. Однако выражение также является формулой – формулой схемы конструирования сложных составных высказываний из более простых.

Переменные в формулах, вместо которых можно подставлять высказывания, то есть переменные, пробегающие множество высказываний, называют пропозициональными переменными, или высказывательными переменными, или переменными высказываниями.

Все возможные логические значения формулы, в зависимости от значений входящих в нее элементарных высказываний, могут быть описаны полностью с помощью таблицы истинности.

Например, для формулы таблица истинности имеет вид, представленный в табл. 2.1.

Нетрудно видеть, что если формула содержит переменных (элементарных высказываний), то она принимает значений, состоящих из нулей и единиц, то есть таблица истинности будет содержать строк.

Таблица 2.1

Таблица истинности операций формулы

Дата добавления: 2017-02-01