Нормальное распределение и его свойства

Задачи.

1. Сообщение содержит 1000 символов. Вероятность искажения при передаче одного символа равна 0,004. Найти: а) среднее число искаженных символов; б) вероятность того, что будет искажено не более трех символов.

2. Найти среднее число бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.

3. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету . Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью, не меньшей 0,95?

4. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в минуту, равно 180. Какова вероятность событий: а) А = {за две секунды на АТС не поступит ни одного вызова};

б) B = {за две секунды на АТС поступит менее 2-х вызовов}.

5. Время Т выхода из строя глубоководной телекамеры подчинено показательному закону распределения с плотностью вероятности:

Найти: а) функцию распределения ; б) мат.ожидание и дисперсию случайной величины Т; в) вероятность того, что радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов.

6. Случайная величина Х, равная длительности работы элемента схемы, имеет плотность распределения: . Найти: а) среднее время работы элемента; б) вероятность того, что элемент проработает не менее 400 часов.

7. Средняя продолжительность телефонного разговора равна 3 минуты. Найти вероятность того, что произвольный телефонный разговор будет продолжаться не более 9 минут.

8. 90% лампочек перегорают после 800 часов работы. Найти вероятность того, что лампочка перегорит в промежутке от 100 до 200 часов работы. (Показательное распределение).

9. Доказать, что если непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, то вероятность того, что Х примет значение, меньшее математического ожидания , не зависит от величины параметра . Найти также вероятность того, что

10. Испытываются 2 независимо работающих прибора. Длительность времени безотказной работы прибора распределена по показательному закону со средним значением для первого прибора 20 месяцев, для второго – 25. Найти вероятность того, что за промежуток времени 10 месяцев: а) оба прибора будут работать; б) откажет только один прибор; в) хотя бы один прибор откажет.

11. Среднее время работы электронного модуля равно 700 ч. Определить время безотказной работы модуля с надежностью 0,8.

12. Производится проверка качества изделий из большой партии до обнаружения первого бракованного изделия. Вероятность брака в партии равна 0,2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х – числа произведенных проверок, если их можно производить неограниченное число раз.

13. Человек ожидает поступления сообщения по электронной почте между 12-00 и 13-00. Время ожидания представляет равномерно распределенную непрерывную случайную величину в этом интервале. Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 12 ч 32 мин до 12 ч 56 мин.

14. Вывести формулу для функции распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке и вычислить вероятность ее попадания в отрезок , целиком содержащийся внутри .

15. Плотность вероятности непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти:

16. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается в 99,99% случаев. Какова вероятность того, что из 10 000 вакцинированных детей заболеет соответственно 1, 2, 3, 4 ребенка?

17. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Записать плотность распределения этой случайной величины, а также математическое ожидание и дисперсию.

18. На некотором предприятии вероятность того, что изделие, сошедшее с конвейера, - брак, равно 0,015. Найти вероятность того, что среди 100 изделий нет бракованных.

19. Вероятность того, что брошенное в почву зерно не взойдет, равно 0,01. Чему равна вероятность того, что из 400 высаженных семян не взойдут 3?

20. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин. равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение 1 мин. обрыв произойдет более чем на трех веретенах.

21. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найти вероятность следующих событий: а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию;

б) в течение часа не более 4 абонентов позвонят на станцию;

в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.

22. По каналу связи пересылается пакет информации до тех пор, пока он не будет передан без ошибок. Вероятность искажения пакета равна 0,1, найти среднее количество попыток передать пакет.

23. Среднее время обслуживания покупателя 20 минут. Чему равна вероятность простоя в очереди от 20 до 40 минут?

24. Предприятие выпускает 90% продукции высшего качества. Чему равна вероятность того, что из 7 взятых изделий 5 окажется высшего качества?

25. Математическое ожидание показательно распределенной случайной величины Х равно 5. Найти вероятность .

26. На склад специализированного магазина поступило 1000 мониторов. Вероятность того, что при транспортировке монитор будет поврежден, равна 0,003. Найдите вероятность того, что магазин получит: а) хотя бы один поврежденный монитор; б) менее двух поврежденных; в) ровно два поврежденных; г) более двух поврежденных мониторов.

27. Станция «Скорой помощи» принимает звонки с просьбой о медицинской помощи. Звонки следуют в среднем через 5 мин. Какова вероятность того, что за полчаса будет: а) три звонка; б) хотя бы один звонок?

28. Производится подбрасывание игрального кубика до первого выпадения шести очков. Какова вероятность того, что первое выпадение шестерки произойдет при втором подбрасывании кубика?

29. Время безотказной работы аппаратуры является случайной величиной Х, распределенной по показательному закону. Среднее время безотказной работы 100 ч. Найти вероятность того, что аппаратура проработает больше среднего времени.

30. При работе прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Их количество подчиняется закону Пуассона. Среднее число неисправностей за сутки равно двум. Определить вероятность того, что: а) за двое суток не будет ни одной неисправности; б) в течение суток возникнет хотя бы одна неисправность; в) за неделю работы прибора возникнет не более трех неисправностей.

31. Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.

Дата добавления: 2017-02-01