Краткие теоретические сведения.

Задачи.

1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны среднее квадратическое отклонение s, выборочная средняя и объем выборки:

2. Извлечена выборка из большой партии светодиодов, содержащая 100 шт. Средняя продолжительность работы светодиода выборки оказалось равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности работы светодиода всей генеральной совокупности a, если известно, что генеральная дисперсия Предполагается, что продолжительность работы светодиода распределена нормально.

3. Станок-автомат штампует детали цилиндрической формы. По выборкам объемов вычислена выборочная средняя диаметров деталей. Найти с надежностью 0,95 точность d, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание a генеральной совокупности, зная, что среднее квадратическое отклонение Считать, что диаметры деталей распределены по нормальному закону.

4. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

5. Агентству по недвижимости требуется оценить среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 99% и погрешностью меньше 5 д.е. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, не превышающим 20 д.е., найти минимальный объем требуемой для этого выборки.

6. С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого бизнеса произведена 10% выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней дневной выручке, которая составила 1200 д.е. В каких пределах с вероятностью 95% может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило

7. Из генеральной совокупности извлечена выборка

Варианта	-1
Частота

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.l

8. По данным 9 независимых равноточных измерений некоторого параметра найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение Оценить истинное значение параметра с помощью доверительных интервалов с надежностью

Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

9. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

Варианта	-0,4	-0,3	-0,2		0,2	0,5	0,8		1,2	1,4
Частота

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности c помощью доверительного интервала.

10. Для отрасли, включающей 700 предприятий, составлена случайная выборка объема n= 16. По выборке оказалось, что на предприятии в среднем работает 60 человек при среднем квадратичном отклонении Пользуясь 95%-м доверительным интервалом, оцените среднее число работающих в отрасли. Предполагается, что количество работников предприятий имеет нормальное распределение.

11. Из 150 работников предприятия случайным образом отобрано 20 человек, средняя зарплата которых составила 800 д.е., а среднее квадратичное отклонение Предполагая, что зарплата распределена по нормальному закону, определите с 95%-й надежностью среднюю зарплату на предприятии и суммарные затраты предприятия на зарплату в месяц.

12. По данным выборки объема из генеральной совокупности, найдено исправленное среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение s с надежностью

13. Произведено 10 измерений одним прибором (без систематических ошибок) некоторой величины, причем исправленное среднее квадратическое отклонение s оказалось равным 0,05. Найти точность прибора с надежностью

14. Произведена случайная выборка из 20 фотоэлементов. Найти выборочные и исправленные средние квадратические отклонения и , а также 95 %-е доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии продолжительности работы всех фотоэлементов партии. Продолжительность работы фотоэлементов распределена по нормальному закону. Результаты случайной выборки приведены в таблице:

Продолжительность работы, сут.
Количество (частота)

15. Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшеницы было отобрано 625 зерен, обследование которых показало, что выборочное среднее равно , а выборочная дисперсия . Чему равна с вероятностью 0,988 предельная ошибка выборки?

16. Службой контроля проверен расход энергии в течение месяца в 10 квартирах 70-квартирного дома, в результате чего были получены значения (кВт,ч): 125, 78, 102, 140, 90, 45, 50, 125, 115, 112. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии в доме.

17. Из партии 5000 пьезоэлементов отобрано 300. Средняя продолжительность безотказной работы пьезоэлемента в выборке оказалась равной 1450 ч, а дисперсия 40000 ч². Какова вероятность того, что средний срок безотказной работы во всей партии заключен в пределах от 1410 до 1490 ч?

Глава 4. Проверка статистических гипотез

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу

Альтернативной (конкурирующей) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Так как проверку производят статистическими методами, то ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотез в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Вероятность совершения ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают . Чаще всего уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Статистическим критерием называют случайную величину (К), которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, а областью принятия гипотезы – при которых гипотезу принимают. Существуют критические точки, разделяющие критическую область и область принятия решений.

Различают правостороннюю (, где - положительное число), левостороннюю (, где -отрицательное число), и двустороннюю (, ) критические области.

Основной принцип проверки статистических гипотез гласит: если наблюдаемое значение критерия принадлежат критической области – гипотезу отвергают, если области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Наблюдаемое значение критерия К вычисляется по выборкам.

Критические точки находят по таблицам, исходя из значений уровня значимости и степеней свободы ().

Дата добавления: 2017-02-01