Свойства коэффициента корреляции

Задачи.

Задачи.

7. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением извлечена выборка объема и по ней найдена выборочная средняя . Требуется:

1) при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу

при конкурирующей

2) при том же уровне значимости проверить ту же нулевую гипотезу при конкурирующей

8. Средний вес таблетки сильнодействующего лекарства должен быть равен Выборочная проверка 225 таблеток партии показала, что средний вес этой таблетки Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей

Многократными предварительными опытами по взвешиванию таблеток данного фармацевтического предприятия было установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением

9. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением извлечена выборка объема и по ней найдена выборочная средняя Требуется:

а) при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу

при конкурирующей

б) те же условия, но ;

в) найти величину , при которой нельзя сказать ничего определенного о справедливости .

10. По результатам замеров установлено, что выборочное среднее время (в секундах) изготовления детали . Предполагая, что время изготовления – нормально распределенная случайная величина с дисперсией , рассмотреть при уровне 0,95 гипотезу , при конкурирующей .

11. С автоматической линии в ОТК завода поступают однотипные подшипники. В течение суток отобрано 90 подшипников и сделаны замеры по их внешней стороне. Среднее арифметическое замеров выборки оказалось , а среднее квадратичное отклонение . Необходимо дать заключение, что линия постоянно обеспечивает заданный номинальный размер 12 см при уровне значимости . Предполагается, что размеры подшипников распределены по нормальному закону с дисперсией .

Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

,

где - исправленное среднее квадратическое отклонение. Величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу

о равенстве неизвестной генеральной средней нормальной совокупности с неизвестной дисперсией гипотетическому (предполагаемому) значению при конкурирующей гипотезе

нужно вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы найти критическую точку .

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе по уровню значимости, помещенному в нижней строке таблицы и числу степеней свободы , находят критическую точку правосторонней критической области.

Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе сначала находят вспомогательную критическую точку по правилу 2 и полагают границу левосторонней критической области

Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

12. По выборке объема , извлеченной из нормальной совокупности, найдены выборочная средняя и исправленное среднее квадратическое отклонение Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу:

а)

при конкурирующей

б) решить эту задачу, приняв в качестве конкурирующей гипотезу

14. Проектный контролируемый размер изделий, изготавливаемых станком – автоматом, равен . Измерения 20 случайно отобранных изделий дали следующие результаты:

Контролируемый размер	70,3	70,4	70,5	70,6	70,8
Частота

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу , при конкурирующей

14. По утверждению руководства фирмы средний размер дебиторского счета равен 187,5 тыс.руб. Ревизор составляет случайную выборку из 10 счетов и обнаруживает, что средняя арифметическая выборки равна 175 тыс. руб. при среднем квадратическом отклонении 35 тыс.руб. Может ли оказаться в действительности правильным объявленный размер дебиторского счета? Принять уровень значимости равным .

15. Цех выпускает 2000 изделий за сутки. Отобрано 10 изделий и сделаны замеры определенного признака , которые приведены в таблице:

Значение признака	25,1	25,12	25,14	25,2	25,22	25,23	25,24
Частота

Считая номинальной для изделия величину 25,18, установить размеры с уровнем значимости .

Глава 5. Элементы теории корреляции

Корреляция в широком смысле слова означает связь, соотношение между существующими явлениями. Если случайные переменные причинно обусловлены, то имеется корреляция.

Корреляция может быть:

а) положительной или отрицательной – в зависимости от характера;

б) простой или множественной – в зависимости от числа переменных;

в) линейной или нелинейной – в зависимости от формы
связи.

В случае лишь одной независимой переменной Х в качестве меры связи между ней и зависимой переменной Y служит коэффициент корреляции. Если в результате испытаний система двух случайных величин приняла значения , то коэффициент корреляции может быть рассчитан по формуле

.

Для многомерной выборки (т.е. в случае более двух факторов) по аналогичным формулам необходимо рассчитать корреляционную матрицу

симметричную относительно главной диагонали.

В теории вероятности для вычисления коэффициента корреляции используют несколько другую формулу, а именно:

где так называемый корреляционный момент или ковариация:

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

, а для непрерывных величин – формулу:

Если корреляционный момент случайных величин X и Y отличен от нуля, то данные величины являются зависимыми.

Для независимых и коэффициент корреляции равен нулю.

1.

2. Если , то , где k и b — константы, k>0.

3. Если, , то , где k <0.

Коэффициент корреляции достигает своих предельных значений –1 и 1 в том и только в том случае, если между и имеется линейная зависимость.

При <1 линейная зависимость отсутствует, хотя по мере приближения к единице совместное распределение , имеет тенденцию концентрироваться вблизи некоторой прямой линии и величину можно считать мерой близости к полной линейной зависимости между и . Чем ближе к единице, тем теснее глубина корреляционной зависимости.

Дата добавления: 2017-02-01