Цепи Маркова с непрерывным временем

Задачи.

1. Задана матрица перехода

Найти матрицу перехода

2. Измерительная система в течение суток может находиться в одном из двух состояний – исправном и неисправном . Граф состояний системы представлен на рисунке:

В результате проведения массовых наблюдений за системой получена матрица вероятностей перехода:

,

где - вероятность того, что система останется в исправном состоянии; - вероятность выхода из строя системы; - вероятность перехода из неисправного в исправное состояние; - вероятность того, что система останется в неисправном состоянии.

Вектор начальных вероятностей состояний системы:

Требуется определить вероятности ее состояний через трое суток.

3. Предприятие реализует две марки однотипных бытовых электроприборов (А и В). Опыт эксплуатации свидетельствует о том, что для них имеют место различные матрицы переходных вероятностей, соответствующих состояниям “работает хорошо” (состояние 1) и “требует ремонта” (состояние 2):

для электроприбора марки А: ;

для электроприбора марки В:

Элементы матрицы перехода определены на годовой период эксплуатации. Требуется:

а) найти вероятности состояний для каждой марки электроприбора после двухлетней эксплуатации, если в начальном состоянии как А, так и В работали хорошо;

б) определить марку электроприбора, являющуюся более предпочтительной для приобретения в личное пользование.

4. Состояние банка характеризуется одной из процентных ставок: 2%, 3%, 4%, которые устанавливаются в начале каждого квартала и фиксированы на его протяжении.

Определить вероятности состояний в конце года, если в конце предыдущего года процентная ставка банка составляла 3%, а размеченный граф состояний имеет вид, приведенный на рисунке:

5. В процессе эксплуатации суперкомпьютер может оказываться в одном из следующих состояний: - полностью исправен;

- имеет неисправности в оперативной памяти, при которых возможно решение большинства задач;

- имеет существенные неисправности и может решать лишь ограниченный класс задач;

- полностью неисправен.

В начальный момент времени суперкомпьютер полностью исправен. Его проверка производится в фиксированные моменты времени Матрица переходных вероятностей имеет вид:

Требуется:

1) построить граф состояний;

2) найти вероятности состояний суперкомпьютера после одной, двух и трех проверок.

6. Рассчитать вектор предельных вероятностей для системы, характеризующейся матрицей переходов:

Какой процент времени будет находиться система при длительном функционировании в 1-м и 2-м состояниях?

7. Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы: А – семьи, не имеющие автомашины и не намеревающиеся ее приобрести; В – семьи, не имеющие автомашины, но собирающиеся ее приобрести, и, наконец, С – семьи, имеющие автомашину. Статистические обследования дали возможность оценить вероятность перехода семей из одной группы на протяжении года в другую. При этом матрица перехода оказалась такой:

Вычислить:

а) вероятность того, что семья, не имеющая машины и не собирающиеся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2 года;

б) вероятность того, что семья, не имеющая автомашины и намеревающаяся ее приобрести, будет ее иметь через 2 года.

8. Две автоматические линии А и В сдаются в аренду по одной и той же цене. Для них характерны следующие матрицы переходных вероятностей:

; ,

где - состояние, когда линия работает хорошо, - состояние, когда она требует регулировки. Определить стационарные вероятности для обеих линий. Какую линию стоит арендовать?

9. По некоторой цели произведено два выстрела в момент времени и . Возможные состояния цели: - цель невредима; - цель незначительно повреждена; - цель получила существенное повреждение; - цель полностью поражена. Размеченный граф состояний цели имеет вид:

В начальный момент цель находилась в состоянии . Определить вероятность состояний цели после двух выстрелов.

Дата добавления: 2017-02-01