Задачи на использование схемы гибели и размножения

Задачи.

1. Система s может находиться в одном из четырех состояний , размеченный граф которых имеет вид

Требуется:

а) Записать для данной системы уравнения Колмогорова;

б) Получить систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний системы в стационарном режиме (финальных вероятностей);

в) Оценить вероятности состояний системы в стационарном режиме при

2. Среднее время безотказной работы компьютера равно , поток отказов (сбоев) – простейший с параметром . При сбоях компьютер останавливается и неисправность устраняется. Среднее время устранения неисправности равно ; поток восстановления компьютера – также простейший с параметром . Определить вероятность того, что компьютер в момент времени t будет работать, если он в момент работал.

3. Техническое устройство состоит из двух узлов и может находиться в следующих состояниях:

S₀ – оба узла исправны;

S₁ – первый узел ремонтируется, второй - исправен;

S₂ – второй узел ремонтируется, первый - исправен;

S₃ – оба узла ремонтируются.

Граф состояний системы имеет вид

Требуется:

а) написать систему уравнений для финальных вероятностей;

б) решить систему для ;

в) оценить время нахождения системы в состояниях ;

г) оценить среднюю эффективность работы системы, если в полностью исправном состоянии система приносит в единицу времени доход 8 у.е., в состоянии - 3 у.е., в состоянии - 5 у.е. и в состоянии - вообще не приносит.

4. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг, показали, что рыночная цена одной акции акционерного общества А открытого типа может колебаться в пределах от 1 до 10 д.е. включительно. Рассматривая в качестве системы S одну акцию этого акционерного общества, будем интересоваться следующими четырьмя состояниями этой системы, характеризующимися рыночной ценой акции:

- от 1 до 4 д.е.,

- от 4 до 7 д.е.,

- от 7 до 9 д.е.,

- от 9 до 10 д.е. включительно.

Замечено, что рыночная цена акции в будущем существенно зависит от ее цены в текущий момент времени, при этом в силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени. Переходы системы S из состояние в состояние происходят со следующими плотностями переходов, не зависящими от времени и описывающимися матрицей:

Требуется:

а) составить долгосрочный прогноз рыночной цены акции;

б) выяснить, стоит ли приобретать акции общества А по цене 7 д.е. за акцию?

5. Система представляет собой счетчик банкнот, который может находиться в трех состояниях:

- счетчик исправен, но не эксплуатируется;

- счетчик исправен и эксплуатируется;

- счетчик не эксплуатируется по

причине неисправности.

Граф состояний счетчика имеет вид:

Найти вероятности состояний счетчика в момент , если в начальный момент он был исправен, но не эксплуатировался.

Дата добавления: 2017-02-01