Матриці, визначники та їх властивості

Передмова

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

1. Антипенко А.М., Сорокін С.П., Поляков С.О. Властивості та якість паливо-мастильних матеріалів. – Харків: ЧП Червяк, 2006. – 213 с.

2. Большаков Г.Ф. Восстановление и контроль качества нефтепродуктов. – Л.: Недра, 1982. – 350 с.

3. Борзенков В.А., Воробьев М.А., Никифоров А.Н. Нефтепродукты для сельскохозяйственной техники: Справочник. – М.: Химия, 1988. – 288 с.

4. Вавапов В.В., Вайншток В.В., Гуреев А.А. Автомобильные пластичные смазки. – М.: Транспорт, 1986. – 144 с.

5. Васильева Л.С. Автомобильные автоэксплуатационные материалы: Учебн. Для ВУЗов. – М.: Транспорт, 1986. – 279 с.

6. Газобаллонные автомобили / Е.Г. Григорьев, Б.Д. Колубоев, В.И. Ерохов и др. – М.: Машиностроение, 1989. – 216 с.

7. Гуреев А.А., Фукс И.Г., Лашхи В.Л. Химмотология. – М.: Химия, 1986. – 368 с.

8. Давлетьяров В.А., Зоря Е.И., Цагарели Д.В. Нефтепродуктообеспече-ние / Под ред. д.т.н., проф. Цагарели Д.В. – М.: Математика, 1988. – 662 с.

9. Заря Е.И., Клейпер Г.Б., Скрицников А.В., Цагарели Д.В. Нефть, топливо, экономия. – М.: Математика, 1996. – 231 с.

10. Итинская Н.И., Кузнецов Н.А. Автотракторные експлуатационные материалы. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Агропромиздат, 1987. – 271 с.

11. Колосюк Д.С., Кузнецов А.В. Автотракторные топлива и смазочные материалы. – К.: Вища школа, 1987. – 191 с.

12. Кузнецов А.В., Кульчев М.А. Практикум по топливу и смазочным материалам. – М.: Агропромиздат, 1987. – 224 с.

13. Новоселов В.Ф. Контроль качества и количества нефтепродуктов. – М.: Недра, 1994. – 150 с.

14. Лышко Г.П. Топлива и смазочные материалы. – М.: Агропромиздат, 1985. – 336 с.

15. Мотовилин Г.В., Масико М.А., Суворов О.М. Автомобильные материалы: Справочник. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Транспорт, 1989. – 464 с.

16. Окоча А.І., Антипенко А.М. Паливо-мастильні та інші експлуатаці-йні матеріали: Підручник. – К: Урожай, 1996. – 336 с.

17. Окоча А.І., Білоконь Я.Ю. Автотракторні витратні матеріали: Довід-ник. – К.: Фаза, 2002. – 102 с.

18. Плитман И.Б. Справочное пособие для работников автозаправочных и автомобильных газонаполненных станций. – М.: Недра, 1990. – 155 с.

19. Смазочные материалы. Антифрикционные и противоизносные свойства. Методы испытаний: Справочник / Р.М. Матвиевский, В.Л. Лащхи, И.А. Буяновский и др. – М.: Машиностроение, 1989. – 224 с.

20. Топливо, смазочные материалы, технические жидкости. Ассортимент и применение: Справочник / К.М. Базыштова, Я.А. Берштад, Ш.К. Богданов и др.; Под ред. В.М. Школьникова. – М.: Химия, 1989. – 432 с.

21. Паливо-мастильні матеріали, технічні рідини та системи їх забезпе-чення / В.Я. Чабанний, В. А., Павлюк-Мороз В.А., С.О. Магопець та ін. – Кіровоград: РВЛ КНТУ, 2005. – 449 с.

22. Чулков П.В., Чулков И.П. Топливо и смазочные материалы: Ассортимент, качество, применение, экономика, экология. – М.: Политехни-ка, 1995. – 302 с.

Цей методичний посібник складено у відповідності з діючою програмою для студентів спеціальності «Архітектура» І курсу, І семестру.

Посібник має 4 розділи, які позначені у змісті, в них міститься увесь теоретичний матеріал та наведено багато прикладів розв‘язання різних типів задач.

Рекомендована література

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1987. – 320 с.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986. – 544 с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1983. – 228 с.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1988. – 431 с.

5. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: Видавництво А.С.К., 2004. – 648 с.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1988. – 224 с.

7. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989. – 656 с.

8. Мантуров О.В., Матвеев Н.М. Курс высшей математики. – М.: Высш. шк., 1986. – 399 с.

9. Овчинников П.П., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Вища математика: Підручник. У 2 ч. – К.: Техніка, 1999. – Ч. 1. - 592 с.

10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: В 3 т. – М.: Наука, 1985. – Т. 1. – 432 с.

11. Шкіль М.І., Колесник Т.В. Вища математика. – К.: Вища шк. Головне вид-во, 1986. – 512 с.

Розділ 1. Матриці і системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

Означення. Матрицею розміром називається прямокутна таблиця, складена з чисел, розташованих у рядків і стовпців. Ці числа називаються елементами матриці. Якщо , матрицю називають квадратною матрицею порядку . В цьому розділі розглядатимемо лише квадратні матриці.

Матриці позначають великими латинськими літерами, а їх елементи – такими ж малими літерами з подвійними індексами, де перший індекс означає номер рядка, а другий – номер стовпця, на перетині яких стоїть цей елемент. Наприклад, квадратна матриця А третього порядку позначається так:

.

Кажуть, що елементи утворюють головну діагональ матриці, елементи – побічну діагональ.

Кожній квадратній матриці ставиться у відповідність число, яке називається визначником або детермінантом цієї матриці. Визначник позначається через , визначник матриці А через чи , а записується подібно до самої матриці, лише замість круглих дужок по боках таблиці елементів ставляться прямолінійні:

.

Розглянемо правила обчислення визначників. Визначник матриці другого порядку обчислюється за формулою

(1.1)

(добуток елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної).

Визначник матриці третього порядку обчислюється за формулою

. (1.2)

Далі визначники другого порядку розкриваються за формулою (1.1), і ми одержуємо вираз визначника через його елементи.

Приклад. Обчислити визначник .

За формулою (1.2):

= =

=

= .

Означення. Мінором елемента даного визначника називається визначник, одержаний з даного визначника викреслюванням і -го рядка і k -го стовпця. Таким чином мінор має порядок на одиницю менший, ніж порядок даного визначника.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента називається його мінор, узятий зі своїм знаком, якщо – парне число, і з протилежним знаком, якщо – непарне число, тобто

.

Тепер ми бачимо, що формулу (1.2) можна записати у вигляді

. (1.3)

Цю формулу називають розкладанням визначника за елементами першого рядка.

Обчислення визначника будь-якого порядку п виконується за аналогічною формулою:

, (1.4)

таким чином визначник п -го порядку виражається через визначники -го порядку, якими є . Застосовуючи формулу (1.4) до і повторюючи цю процедуру, прийдемо кінець кінцем до визначників 2 порядку.

Зауваження. Далі буде з’ясовано, що обчислення будь-якого визначника можна виконувати розкладанням його за елементами не лише першого, але і будь-якого іншого рядка або стовпця.

Приклад. Обчислити визначник

.

Розкладемо визначник за елементами першого рядка відповідно до формули (1.4):

=

= = = +

+ = .

Перевіримо слушність зробленого зауваження: розкладемо тепер визначник за елементами другого стовпця:

=

= =

= .

Одержано, як і слід було чекати, той самий результат.

Дата добавления: 2017-02-01