Властивості множення матриць.

Множення матриць. Обернена матриця

Означення. Добутком матриці А на матрицю В називається матриця , у якій елемент дорівнює сумі добутків елементів і -го рядка матриці А на відповідні елементи k -го стовпця матриці В.

Якщо де і де , то добуток де

(1.7)

Для існування добутку необхідно, щоб розміри множників були узгоджені: число стовпців першого множника А повинно дорівнювати числу рядків другого множника В.

Приклади. 1. Знайти добуток матриці на матрицю .

.

Зазначимо, що тут добуток не існує через неузгодженість розмірів.

2. Знайти добутки і , якщо , .

.

.

Бачимо, що в даному випадку .

1. В загальному випадку , як це видно із наведених прикладів. Якщо ж , то матриці А і В називають переставними (комутативними).

2. (λА)· В = А ·(λВ)= λ (А·В) – асоціативність відносно множення на число.

3. і – дистрибутивність відносно додавання.

4. асоціативність множення матриць.

5. – одинична матриця відіграє роль одиниці при множенні на будь-яку матрицю А.

6. для будь-якої матриці А.

7. .

8. Для квадратних матриць .

Означення. Матриця називається оберненою до матриці А, якщо , де Е – одинична матриця.

Означення. Квадратна матриця А називається невиродженою, якщо , і виродженою, якщо .

Теорема. Для того, щоб дана матриця А мала обернену, необхідно і достатньо, щоб вона була невиродженою.

Необхідність. Нехай для матриці А існує обернена . Тоді , а значить за властивістю 8:

,

отже і , при чому , і матриця А є невиродженою.

Достатність. Доводиться безпосередньо побудовою оберненої матриці. Процес побудови проілюструємо на прикладі квадратної матриці А третього порядку, але алгоритм залишається в силі для матриці будь-якого порядку.

Дата добавления: 2017-02-01