Геометричні застосування скалярного добутку

Вираз скалярного добутку через координати співмножників.

Нехай –базис. Тоді

(тому, що , , ) (2.14)

і (тому, що ). (2.15)

Якщо і , то, застосовуючи властивості 1-3 скалярного добутку

= + + + + + + + + + + .

Враховуючи формули (2.14) і (2.15), одержимо

= , (2.16)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків однойменних координат співмножників.

Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів , якщо .

Згідно з означенням (2.10)

= 4·3·cos 60^º = 12·0,5 = 6.

Приклад 2. Знайти скалярний добуток векторів , якщо = = , = (2; 1; 4).

Випишемо координати вектора : = (5; -9; -6). За формулою (2.16)

= 5·2 + (-9)·1 + (-6)·4 = 10 – 9 – 24 = -23.

1. Модуль вектора і відстань між двома точками. Якщо , то згідно з формулою (2.13) , звідки

. (2.17)

Якщо задані декартові координати точок М ₁ і М ₂ , то = , отже відстань між цими точками дорівнює

. (2.18)

2. Ознака перпендикулярності (ортогональності) векторів. Вектор і вектор перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли (формула 2.12), тобто

= 0 (2.19)

3. Кут між векторами і визначається рівністю (з формули (2.10)):

. (2.20)

4. Проекція вектора на вектор визначається рівністю (формула (2.11)):

.

5. Напрямні косинуси вектора.

Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів, утворених вектором з координатними осями, тобто з базисними векторами.

Якщо , то згідно з формулою (2.20)

= ;

= ; (2.21)

= .

Приклад 1. Знайти орт вектора = (4; 7; -4).

За означенням орта вектора (див. п. 2.1) , отже обчислимо довжину вектора :

= (формула (2.17)). Далі, (4; 7; -4) = (формула (2.5)).

Відповідь: орт вектора має координати .

Приклад 2. При яких значеннях числа α вектори = (α, 3α, 1) та = (α, 1, -10) ортогональні?

За ознакою ортогональності векторів

α·α + 3α·1 + 1·(-10) = 0 (формула (2.19)).

Отже α² + 3α – 10 = 0. З цього рівняння знаходимо: α₁ = 2; α₂ = -5.

Приклад 3. Знайти внутрішній кут при вершині А трикутника АВС, де , і .

Внутрішній кут при вершині А – це кут між векторами і . За формулою (2.20)

.

Отже, .

Дата добавления: 2017-02-01