Мішаний добуток трьох векторів

Вираз векторного добутку через координати співмножників.

Розглянемо спочатку векторні добутки базисних векторів (рис. 2.12). Згідно з означенням маємо:

= , = , = ,

Рис. 2. 12 крім того = = = .

Нехай тепер і . Тоді

= = + +

= . (2.22)

Цю формулу можна подати в зручному для запам’ятання вигляді, якщо зауважимо, що

; ; .

Тепер праву частину формули (2.22) можна розглядати як розкладання за елементами першого рядка символічного визначника

, (2.23)

у першому рядку якого – базисні вектори, а в другому і третьому відповідно – координати першого і другого співмножників.

Тепер властивість 4) випливає з формули (2.23) та властивості визначників 6).

Приклад. Дано три вершини паралелограма : , , . Знайти його площу (рис. 2.13).

Рис. 2. 13

Даний паралелограм побудований на векторах і , отже за геометричним змістом векторного добутку його площа дорівнює . Знаходимо , .

За формулою (2.23)

.

.

Аналогічно обчислюється площа трикутника АВС, заданого координатами своїх вершин, бо

.

Означення. Мішаним або векторно-скалярним добутком трьох упорядкованих векторів , і називається скалярна величина .

Мішаний добуток позначається символом .

Рис. 2. 14

Геометричний зміст мішаного добутку. Розглянемо паралелепіпед, побудований на векторах , і (рис. 2.14). Площа основи цього паралелепіпеда , а висота = , де знак плюс відповідає гострому куту (в цьому випадку вектори , , утворюють праву трійку), а знак мінус – тупому куту (в цьому випадку , , – ліва трійка). Отже, згідно з означенням скалярного добутку (2.11)

= = ,

де – об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і , знак плюс відповідає правій трійці векторів , , , а знак мінус – лівій трійці.

Геометричне тлумачення мішаного добутку дозволяє сформулювати основні його властивості.

1) При циклічному переставленні співмножників мішаний добуток не змінюється:

= .

Справді, при такому переставленні не змінюються ні паралелепіпед (рис. 2.14), ні орієнтація трійки.

2) Мішаний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі три вектори компланарні.

Справді, компланарність співмножників означає, що паралелепіпед вироджується в плоску фігуру, тобто має нульовий об’єм.

Дата добавления: 2017-02-01