Вынужденные электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний и его решение. Резонанс

Если в колебательном контуре помимо ЭДС самоиндукции имеется некоторая ЭДС, изменяющаяся по какому-либо периодическому закону, например по закону синуса или косинуса, то в таком контуре будут существовать вынужденные электромагнитные колебания.

Рассмотрим некоторый контур, состоящий из R, L, C и . В этом случае рассеянная энергия контура восполняется за счет энергии, включенной ЭДС, а это и означает, что в контуре существуют незатухающие колебания, происходящие под действием вынуждающей силы (рис. 6.5).

На основании второго закона Кирхгофа запишем уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в виде

, (6.31)

где

Имеем

(6.32)

Уравнения (6.32) являются уравнениями вынужденных электромагнитных колебаний. Они неоднородные, т.е. содержат правую часть. Для однородных уравнений (т.е. уравнений без правой части) справедлив принцип суперпозиции, согласно которому сумма любых двух решений уравнения является решением того же уравнения. Для неоднородных линейных уравнений это несправедливо. Однако из теории колебаний известно, что общую задачу о вынужденных колебаниях под действием произвольно меняющейся силы можно свести к частной задаче о вынужденных колебаниях под действием синусоидальной силы. Дело в том, что согласно известной математической теореме Фурье всякая функция X(t) довольно общего вида может быть представлена в виде суммы синусоидальных функций. То есть общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде суммы частного решения того же уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Поэтому решение уравнения (6.32) можно представить в виде

, (6.33)

где - частное решение;

- общее решение однородного уравнения.

С течением времени q₂ уменьшается и при t ®¥ стремится к нулю.

Следовательно, установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно описать уравнением вида

. (6.34)

Решая уравнение вынужденных электромагнитных колебаний, можно получить

(6.35)

(6.36)

или

; (6.37)

. (6.38)

Анализируя выражение (6.35), можно сделать вывод: в случае, когда знаменатель данного выражения минимален, q_o1 стремится к максимальному значению.

Для определения условий, при которых это происходит необходимо исследовать знаменатель выражения (6.35) на минимум. Исследования приводят к следующему результату: частота соответствующая максимальному значению q_o1 (а следовательно, тока и напряжения) при вынужденных колебаниях равна

, (6.39)

где , а .

Явление резкого возрастания амплитудных значений переменных величин при электромагнитных колебаниях (в контуре) называется резонансом. Частота, при которой наблюдается резонанс, называется резонансной частотой (6.39). Характер резонансных кривых определяется значением сопротивления R (рис. 6.6).

Продифференцировав (6.30) по времени, будем иметь:

. (6.40)

При установившемся режиме решение уравнения (6.41) имеет вид

. (6.41)

Для амплитуды тока и разности фаз между током и внешней ЭДС можно получить

. (6.42)

Таким образом, амплитуда тока в контуре зависит от R и от соотношения между L, C и w. При постоянном сопротивлении R можно получить максимальную амплитуду тока, если ; . Тогда

. (6.43)

В этом случае сила тока изменяется в одной фазе (j = 0) с внешней ЭДС, вследствие чего работа этой ЭДС в течение всего периода колебаний положительна. При j≠0 внешняя ЭДС в течение части периода совершает отрицательную работу, когда и I имеют различные знаки. Условие означает, что частота вынуждающей силы равна частоте собственных колебаний. При этом условии энергия, поступающая от внешнего источника в контур за один период колебаний, достигнет максимума, т.е. источник тока развивает полезную наибольшую мощность. Накопление энергии в контуре (а следовательно, увеличение силы тока) происходит до тех пор, пока сумма потерь за период не станет равной притоку энергии от внешнего источника тока за это же время. Очевидно, что при малых значениях R для этого потребуются большие токи. Большие значения амплитуды тока I_o при малых сопротивлениях R получаются из соотношения . Следует учесть, что большие токи могут вызвать сильное нагревание проводников, изменение их сопротивления и даже плавление.

Равенство частоты внешней ЭДС и частоты собственных колебаний контура иногда называют условием электрического резонанса. При этом амплитудные значения всех электрических и магнитных величин, изменяющихся при колебаниях, достигают наибольших значений.

Отметим, что при резонансе величина и амплитуда падения напряжения на конденсаторе равна амплитуде напряжения на катушке:

(6.44)

Чем сильнее отличается частота внешней ЭДС от частоты собственных колебаний контура, тем, согласно (6.42), меньше амплитудные значения силы тока и связанных с нею величин.

Явление резонанса довольно широко применяется в различных областях науки и техники.

Дата добавления: 2017-02-01