Нелинейный осциллятор. Физические системы, содержащие нелинейность

В общем случае осциллятор – это физическая система, совершающая колебательные движения. Термином «осциллятор» пользуются для любой системы, если описывающие ее величины периодически меняются со временем.

Классический осциллятором является механическая система, совершающая колебания около положения устойчивого равновесия (например, математический маятник, груз на пружине). Для такого осциллятора характерно то, что в положении равновесия потенциальная энергия W_p системы имеет минимум. Если отклонения x от этого положения малы, то в разложении W_p(x) по степеням x можно принять

, (6.1)

где k – коэффициент квазиупругой силы.

При этом квазиупругая сила определяется соотношением

. (6.2)

Такие осцилляторы называются гармоническими, их движение описывается линейным уравнением

, (6.3)

решение которого имеет вид

, (6.4)

где m - масса осциллятора;

A - амплитуда колебаний;

- круговая или циклическая частота;

j - начальная фаза колебаний;

t - время.

Полная энергия гармонического осциллятора является суммой периодически меняющихся в противофазе кинетической (W_k) и потенциальной (W_p) энергий, независящей от времени:

. (6.5)

Когда отклонение x нельзя считать малым, в разложении W_p(x) необходимо учитывать члены более высокого порядка. Уравнения движения становятся нелинейными, т.е. такими, в которых переменные и производные их входят в высших степенях, например, в третьей степени.

Примером такого уравнения может служить уравнение генератора электромагнитных волн, которое содержит третью степень производной по «y»:

. (6.6)

Осциллятор, удовлетворяющий нелинейным уравнениям, называют нелинейным или ангармоническим.

Голландский физик Ван дер Поль в ряде работ (с 1920 г.) дал приближенные решения некоторых нелинейных уравнений и тем самым положил начало изучению нелинейных колебаний. Большой вклад в развитие теории нелинейных колебаний внес академик Андронов (1901 -1952).

Понятие «осциллятор» применяется также к немеханическим колебательным системам. В частности, колебательный контур является электрическим осциллятором. Изменение (колебания) напряженностей электрического и магнитного полей в плоской электромагнитной волне также можно описывать с помощью понятия «осциллятор». Понятие «осциллятор» играет важную роль в теории твердого тела, электромагнитного излучения, колебательных спектров молекул.

В квантовой механике задача о линейном (с одной степенью свободы) гармоническом осцилляторе решается с помощью уравнения Шредингера (при ). Решение существует лишь для дискретного набора значений энергии

, (6.7)

где n = 1, 2,...

Важной особенностью энергетического спектра осциллятора является то, что уровни энергии W_n расположены на равных расстояниях. Так как правила отбора разрешают в данном случае переходы только между соседними уровнями, то, хотя квантовый осциллятор имеет набор собственных частот , излучение его происходит на одной частоте w, совпадающей с частотой классического осциллятора . В отличие от классического осциллятора возможное наименьшее значение энергии (при n = 0) квантового осциллятора равно не нулю, а (нулевая энергия).

Нелинейные системы – это колебательные системы, свойства которых зависят от происходящих в них процессов. Колебания таких систем описываются нелинейными уравнениями.

Нелинейными являются: механические системы, в которых модули упругости тел зависят от деформаций последних или коэффициент трения между поверхностями тел зависит от относительной скорости этих тел (скорости скольжения); электрические системы, содержащие сегнетоэлектрики, диэлектрическая проницаемость которых зависит от напряженности электрического поля.

Указанные зависимости в механических системах приводят соответственно либо к нелинейности связей между напряжениями и деформациями (нарушению закона Гука), либо к нелинейной зависимости сил трения от скорости скольжения, либо к нелинейной связи между действующей на тело силой и сообщаемым ему ускорением (если при этом скорость тела меняется по величине).

Аналогично в электрических системах оказываются нелинейными: связь между электрическими зарядами и напряженностью создаваемого ими поля; связь между напряжением на концах проводника и силой протекающего по нему электрического тока (нарушение закона Ома); связь между силой тока напряженностью создаваемого им магнитного поля (магнитной индукцией) в магнетике.

Каждая из этих нелинейных связей приводит к тому, что дифференциальные уравнения, описывающие поведение нелинейных систем, оказываются нелинейными. Поэтому и системы называются нелинейными.

Все физические системы, строго говоря, являются нелинейными. Поведение нелинейных систем отлично от поведения линейных систем. Одна из наиболее характерных особенностей нелинейных систем заключается в нарушении принципа суперпозиции. Искажение в нелинейных системах формы гармонического внешнего воздействия и нарушение принципа суперпозиции позволяют осуществлять с их помощью генерирование и преобразования частоты электромагнитных колебаний - выпрямление, умножение частоты, модуляцию колебаний.

Дата добавления: 2017-02-01