Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Основные свойства, получение и распространение электромагнитных волн. Энергия электромагнитной (световой) волны. Вектор Умова-Пойтинга

7.6.1. Волновое уравнение

Электромагнитная волна является одной из форм существования электромагнитного поля. Особенностью электромагнитных волн является то, что для своего распространения они не требуют наличия какой-либо среды и могут распространяться в вакууме.

Из теории Максвелла следует, что переменное магнитное поле порождает электрическое (также переменное), которое в свою очередь порождает переменное магнитное поле и т.д. Таким образом, если возбудить переменное электромагнитное поле, то в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей. При этом если исходное электромагнитное поле носит периодический характер, то в окружающем пространстве распространяется электромагнитная волна той же частоты. Доказательством этого может служить волновое уравнение, полученное из системы уравнений Максвелла, записанных в виде

; (7.37)

; (7.38)

; (7.38)

; (7.39)

; (7.40)

; (7.41)

. (7.42)

В случае однородной электрически нейтральной (), непроводящей () среды с постоянными проницаемостями и уравнения (7.37 – 7.39) можно переписать так:

; (7.43)

; (7.44)

; (7.45)

. (7.46)

Осуществим операцию ротации от обеих частей уравнения (7.43), т.е. обе части этого уравнения умножим по правилам векторного умножения на оператор :

.

Изменение последовательности дифференцирования по координатам и времени приводит к равенству

.

Произведя такую замену и подставив в получившееся уравнение значение для ротора , получим:

. (7.47)

Согласно правилам векторной алгебры для двойного векторного произведения, имеет место тождество

.

Поэтому левую часть уравнения (7.47) можно представить следующим образом:

.

В силу уравнения (7.46) первый член этого выражения равен нулю, поэтому приходим к уравнению

,

где ;

- лапласиан.

Учитывая симметрию системы уравнений (7.43-7.46) относительно и , аналогично получаем дифференциальное уравнение для вектора . Раскроем лапласиан:

; (7.48)

. (7.49)

Уравнения (7.48) и (7.49) представляют собой типичные волновые уравнения. Они описывают электромагнитную волну, распространяющуюся в среде со скоростью . В вакууме м/c.

7.6.2. Плоская электромагнитная волна

Простейшей электромагнитной волной является плоская синусоидальная волна, т.е. такая волна, фронт которой представляет плоскость, перпендикулярную направлению распространения, а в фиксированной точке изменение векторов E и H происходит по закону синуса или косинуса.

Математически такая волна может быть представлена уравнениями (7.48) и (7.49).

Решениями дифференциальных уравнений (7.48) и (7.49) являются выражения

, (7.50)

где E(r,t), H(r,t) - мгновенные значениявекторов E и H в данной точке пространства с координатой r и в данный момент времени t;

E_m, H_m - их максимальные значения;

- круговая или циклическая частота;

n - частота колебаний.

Знак «минус» соответствует волне, распространяющейся в направлении возрастания r.

Расстояние между двумя точками, колебания в которых отличаются по фазе на 2p (например, между двумя максимумами), называется длиной электромагнитной волны l. Она равна расстоянию, на которое распространяется волна за время одного периода колебания T. Если v – скорость распространения электромагнитной волны (скорость распространения фазы колебаний), то

. (7.51)

Пользуясь соотношением (7.51) и учитывая, что , уравнения (7.39) можно записать и в следующем виде:

, (7.52)

где k = 2p/l - волновое число.

Волновой вектор направлен в сторону распространения волны; так, при распространении в вакууме и .

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в нейтральной непроводящей среде с постоянными проницаемостями и . Направим ось ОХ перпендикулярно к волновым поверхностям (рис. 7.7). Тогда и не будут зависеть от Y и Z, а будут зависимы только от X. В этом случае волновые уравнения для и можно записать так

;

. (7.53).

Решения этих дифференциальных уравнений (7.53) имеют вид

(7.54)

В электромагнитной волне периодически одновременно в пространстве и во времени изменяются электрическое и магнитное поля, причем векторы и взаимно перпендикулярны и перпендикулярны вектору скорости распространения волны .

Плоскость, в которой происходят колебания вектора , называется плоскостью колебаний, а перпендикулярная к ней плоскость, в которой происходят колебания вектора , называется плоскостью поляризации.

В научно-технической литературе вместо тригонометрического представления уравнений волны (7.43) часто используются экспоненциальные выражения (через комплексные экспоненты):

; (7.55)

. (7.56)

Представление уравнений волны в виде (7.55) и (7.56) значительно упрощает расчеты, делает их более компактными. Уравнения (7.55) и (7.56) также являются решениями дифференциальных уравнений (7.53). После выполнения всех преобразований над выражениями в экспоненциальной форме можно представить результат в «обычной» тригонометрической форме, для чего необходимо удержать только реальную часть. Этот вывод основан на эквивалентности тригонометрического и экспоненциального выражений комплексной величины, связанных формулами Эйлера:

.

7.6.3. Законы отражения и преломления электромагнитных волн

Пусть граница двух сред представляет собой плоскость (рис. 7.8). Обе среды являются немагнитными (), имеют различные диэлектрические проницаемости и . На поверхность раздела сред под углом падает плоская электромагнитная волна. Если исходить из того, что обе среды электрически изотропны, то все три луча (падающий, отраженный и преломленный) лежат в одной плоскости. Запишем уравнения трех перечисленных волн: 1 - падающей, 2 -отраженной, 3 – преломленной:

, (7.57)

, (7.58)

. (7.59)

В данном случае начальная фаза колебания представлена как скалярное произведение волнового вектора и радиус-вектора , проведенного из начала координат. При совпадении направлений и ОХ получим введенное ранее выражение уравнения волны.

Известно, что касательная составляющего вектора не изменяется при переходе через границу раздела двух диэлектриков, поэтому

,

т.е.

Это равенство должно выполняться в любой момент времени t и в любой точке с координатой х. Первое означает, что , т.е. частоты трех рассматриваемых волн одинаковы. Второе требование приводит к равенству

,

т.е.

,

но

, , .

Поэтому

,

но

, , , .

Следовательно,

,

что означает .

В свою очередь равенство приводит к известному закону преломления света:

, (7.60)

где - относительный показатель преломления.

7.6.4. Свет как электромагнитная волна

Одной из сложных физических проблем конца XIX и начала XX-го века являлась проблема о физической природе света. Одна из гипотез утверждала, что свет является волной. Однако опытных данных, подтверждающих эту гипотезу, было недостаточно. Наиболее важную роль в подтверждении этой гипотезы сыграли опыты по определению скорости света. Одним из них, отличающимся наиболее высокой точностью, является опыт американского физика-экспериментатора Майкельсона. Схема опыта показана на рис. 7.9. Свет от источника S (электрической дуги) попадая на «верхнюю косую» грань восьмигранной зеркальной призмы 1, способную вращаться вокруг собственной оси с достаточно большой угловой скоростью , отражался от нее, достигал зеркал рефлектора 2-3. Отражаясь зеркалами рефлектора, световой луч приходил на «нижнюю косую» грань призмы, которая направляла его в зрительную трубу Т для наблюдения многократно отраженного светового луча. Опыт был поставлен в природных условиях: зеркальная призма, источник и зрительная труба находились на вершине одной горы, а зеркальный рефлектор - на вершине другой, находящейся от первой горы приблизительно на расстоянии 35 км.

Нетрудно понять, что если призма совершала вращательное движение, то, вообще говоря, наблюдатель перестанет видеть источник света. Однако если за время прохождения светом удвоенного расстояния между призмой и рефлектором, равного , призма «подставит» свою очередную грань, то наблюдатель зафиксирует свет на экране трубы. Таким образом, необходимо выполнение условия, при котором угол поворота призмы был равен

.

Из опыта Майкельсона следовало, что скорость распространения света близка к значению м/с. Это значение с достаточной степенью точности совпадало со значением скорости распространения электромагнитной волны, вычисленным по формуле . В результате был сделан вывод, о том что свет является электромагнитной волной. Этому способствовало также сходство законов отражения и преломления пучков заряженных частиц и света.

7.6.5. Энергия электромагнитной (световой) волны. Вектор Умова-Пойнтинга

Электромагнитная волна, как и электромагнитное поле вообще, является носителем энергии. Основными энергетическими параметрами электромагнитной волны являются: объемная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу объема), плотность потока энергии, интенсивность.

× Объемная плотность энергии. Для плоской электромагнитной волны объемная плотность энергии равна сумме объемных плотностей энергии электрического w_эл и магнитного w_м полей. С учетом того, что между векторами E и H в электромагнитной волне существует связь , для объемной плотности энергии электромагнитной волны имеем

(7.62)

× Плотность потока энергии - это вектор , направленный по направлению вектора скорости электромагнитной (световой) волны и численно равный энергии, переносимый волной через нормальную единичную площадку в единицу времени. Вектор называют вектором Умова-Пойнтинга.

Для определения вектора Умова-Пойтинга мысленно разместим внутри электромагнитной волны прямоугольный параллелепипед так, чтобы его боковые поверхности площадью каждая были перпендикулярны к волновому вектору (рис. 7.10).

За единицу времени через боковую поверхность параллелепипеда волна перенесет энергию, равную .

Если считать, что продольный размер параллелепипеда равен , то через боковую поверхность за единицу времени переносится энергия электромагнитной волны, заключенная внутри такого параллелепипеда. В соответствии с определением будем иметь

или в векторной форме

. (7.63).

Для плоской электромагнитной волны численное значение вектора Умова-Пойтинга равно

. (7.64)

Из выражения (7.64) видно, что в этом случае изменяется во времени с частотой 2w.

× Интенсивность волны. На практике представляет интерес усредненное во времени значение плотности потока энергии, которое называется интенсивностью электромагнитной волны.

Так как , то

или

. (7.65).

Таким образом, интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды напряженности электрического (магнитного) поля.

Импульс электромагнитного поля

, (7.66)

где W – энергия электромагнитного поля;

c – скорость распространения электромагнитного поля в вакууме.

Соотношение между массой и энергией свободного электромагнитного поля является универсальным законом природы

. (7.67)

Дата добавления: 2017-02-01