Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Пример. Методом непосредственного применения законов Кирхгофа рассчитать токи в схеме на рис.

Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.

Рис. 2.20. Схема замещения сложной электрической
цепи с несколькими источниками энергии:
I, II, III – номера контуров

1. Проводим топологический анализ.

Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б).

2. Составляем уравнения по певому и второму законам Кирхгофа

Для узла "а" - I ₁ - I ₂ + I ₄ = 0.

Для узла "б" - I ₁ + I ₂ - I ₃ - I ₅ = 0.

Остальные m - (n - 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа.

Для контура I - R ₁· I ₁ - R ₂· I ₂ = - E ₁ + E ₂.

Для контура II - R ₂· I ₂ + R ₃· I ₃ + R ₄· I ₄ = - E ₂ - E ₃.

Для контура III - - R ₃· I ₃ + R ₅· I ₅ = E ₃.

Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным.

При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде

- I ₁ - I ₂ + 0 + I ₄ + 0 = 0

I ₁ + I ₂ - I ₃ + 0 - I ₅ = 0

R ₁· I ₁ - R ₂· I ₂ + 0 + 0 + 0 = - E ₁ + E ₂

0 + R ₂· I ₂ + R ₃· I ₃ + R ₄· I ₄ + 0 = - E ₂ - E ₃

0 + 0 + - R ₃· I ₃ + 0 + R ₅· I ₅ = E ₃.

В матричной форме

или [ R ]·[ I ] = [ Е ],

где [ R ] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях;

[ I ] – матрица - столбец неизвестных токов;

[ E ] – матрица - столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС.

Решение матричного уравнения ищут в виде

[ I ] = [ R ]^-1·[ E ],

где [ R ]^-1 – матрица, обратная матрице [ R ].

Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений 2.

Дата добавления: 2017-02-01