Тема 12. Повторные независимые испытания.

[3] c. 23 – 24 примеры 1 – 4, с. 32 – 35 примеры 1 – 4, с. 39 – 40

примеры 1,2, с. 43 – 44 примеры 2 – 4, с. 45 – 47 примеры 1 – 4,

с. 51 – 52 примеры 1 – 2, с. 53 пример 1, с. 56 пример 1, с. 58 – 59

примеры 1, 2, с. 60 – 61 пример 1, с. 62 примеры 1, 2.

[4] c. 37 – 38 №110, с. 40 – 43 №119, 120, 125, 129, 131, с. 44 – 46

№135 – 136, №139, 142, с. 46 – 49 №145, 147, 149, 152, 155, 157.

[9] c. 68 – 70 примеры 2.1 – 2.3, с. 72 пример 2.4, с. 73 пример 2.5,

с. 75 пример 2.6, с. 77 – 82 примеры 2.7 – 81.

Случайным событием называется такой исход опыта (испытания), который может произойти или не произойти. Обозначаются события A, B, C,….

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта. Обозначают достоверное событие . Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта. Обозначают невозможное событие .

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

Противоположным событию А называют событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления.

Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев.

Такое определение называется классическим определением вероятности события.

Основные свойства вероятности.

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

2.

3. Для любого события А

Условной вероятностью события А при условии В называется вероятность события А, найденная при условии, что событие В уже произошло.

Правило умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого.

Для независимых событий правило умножения принимает вид:

Правило сложения вероятностей. Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей минус вероятность их произведения.

Для несовместных событий правило сложения принимает вид:

Формула полной вероятности. Пусть событие А может произойти только с одним из событий H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, т.е. и . Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

События H₁, H₂, …, H_n называют гипотезами, а числа - вероятностями гипотез.

Формула Байеса. Если в результате опыта осуществилось событие А, то прежние доопытные или априорные вероятности гипотез , …, должны быть заменены на новые, послеопытные или апостериорные вероятности, которые вычисляются по формуле Бейеса:

Вероятность P(A) вычисляется по формуле полной вероятности.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 22. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Решение. Пусть событие A – из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие B – из 4 семян взойдут 3 семени; событие C – из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

P(A)=P(B)+P(C).

Вероятности P(B) и P(C) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующей случае. Пусть проводится серия n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна p, а вероятность ненаступления этого события равна q=1-p. Тогда вероятность того, что событие A в n испытаниях появится ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли

,

где - число сочетаний из n элементов по k.

Тогда

;

.

Искомая вероятность P(A)= 0,2916+0,6561= 0,9477.

Задача 23. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислить искомую вероятность по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

,

где `- табулированная функция, , и .

Из условия задачи p = 0,9; q = 1 - 0,9 = 0,1; n=400; k=350.

Тогда .

Из таблицы 1 приложений находим .

Искомая вероятность равна

.

Задача 24. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10000 семян будет обнаружено 6 семян сорняков?

Решение. Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности p = 0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения . Поэтому при малых значениях p для вычисления применяют асимптотическую формулу Пуассона

, где e = 2,7182…; .

Эта формула используется при , причем, чем меньше p и больше n, тем результат точнее.

По условию задачи p = 0,0002; n = 10000; k = 6. Тогда и

.

Задача 25. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение. Если вероятность наступления события A в каждом из n испытаний постоянна и равна p, то вероятность того, что событие A в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз, определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:

, где

.

Функция называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функции для . При x>5 функция . При отрицательных значениях x в силу нечетности функции Лапласа . Используя интегральную функцию Лапласа, имеем:

.

По условию задачи n = 500; p = 0,9; q = 0,1; k₁ = 400; k₂ = 440. По приведенным выше формулам находим и :

.

Тогда

.

Вопросы для самопроверки.

1. Что называется событием? Приведите примеры событий; достоверных событий; невозможных событий.

2. Какие события называются несовместными? Совместными? Противоположными?

3. Что называется относительной частотой события?

4. Сформулируйте статистическое определение вероятности события.

5. Сформулируйте классическое определение вероятности события.

6. Что называется условной вероятностью события?

7. Сформулируйте теоремы умножения вероятности для зависимых и независимых событий.

8. Напишите формулу полной вероятности.

9. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытания?

10. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?

11. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.

12. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?

Дата добавления: 2017-02-01