Проверка качества модели

Качество модели оценивается по адекватности и точности на основе анализа остатков регрессии e. Анализ остатков позволяет получить представление о том, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа, остатки должны «вести себя» как независимые (в действительности почти независимые), одинаково распределенные случайные величины. В классических методах регрессионного анализа предполагается нормальный закон распределения.

Исследование остатков полезно начинать с их графика. Нередко встречаются ситуации, когда остатки содержат тенденцию или подвержены циклическим колебаниям. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков. Иногда автокорреляция связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения результативного признака. В других случаях автокорреляция указывает на наличие какой-то достаточно сильной зависимости, неучтенной в модели. Например, при подборе простой линейной зависимости график остатков может показать необходимость перехода к нелинейной модели или включения в модель периодических компонент.

Существуют два наиболее распространенных метода определения автокорреляции остатков:

1. построения графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции;

2. использование критерия Дарбина–Уотсона (приложение 3) и расчет величины

(49)

Таким образом, d это отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Коэффициент автокорреляции остатков определяется по

(50)

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция и r₁ ^ε = 1, то d = 0. если в остатках полная отрицательная автокорреляция и r₁ ^ε = -1, то d = 4.

Таким образом, величина d изменяется в переделах:

0£ d £ 4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина–Уотсона следующий: выдвигается гипотеза Но об отсутствии автокорреляции остатков; альтернативные гипотезы Н₁ и Н₁^* состоят соответственно в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам (приложение 3) определяются Критические значения критерия Дарбина-Уотсона d_L и d_u для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k и уровня значимости g. По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Вопрос о принятии или отклонении каждой из гипотез с вероятностью (1-g) рассматривается в соответствии с рис. 2.1.

Есть положительная автокорреляция остатков. Но отклоняется. С вероятностью Р=(1-a) принимается Н1

Зона неопре деленнос ти

Нет оснований отклонять Но (автокорреляция остатков отсутствует)

Зона неопре деленнос ти

Есть отрицательная автокорреляция остатков. Но отклоняется. С вероятностью Р=(1-a) принимается Н1

0 d_L d_u 2 4- d_u 4- d_L 4

Рис. 2.1. Механизм проверки гипотезы о наличии автокорреляции остатков

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то нельзя сделать окончательный вывод по этому критерию.

Выбросы. График остатков хорошо показывает и резко отклоняющиеся от модели наблюдения– выбросы. Подобным аномальным наблюдениям надо уделять особо пристальное внимание, так как их присутствие может грубо искажать значение оценок. Устранение эффектов выбросов может проводится либо с помощью удаления этих точек из анализируемых данных (эта процедура называется цензурированием), либо с помощью применения методов оценивания параметров, устойчивым к подобным грубым отклонениям.

Кроме рассмотренных выше характеристик, целесообразно использовать коэффициент множественной корреляции и детерминации.

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

(51)

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

(52)

Существует 2 способа вычисления R²:

1) через корреляционное отношение

(53)

Данный способ рационален в то случае, если n мало.

2) через определители матрицы.

(54)

(55)

в многофакторной регрессии добавление дополнительных объясняющих переменных увеличивает коэффициент детерминации. Следовательно, этот коэффициент должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных.

В связи с этим необходимо корректировать коэффициент множественной детерминации на потерю степеней свободы вариации.

(56)

Скорректированный коэффициент всегда ниже, чем нескорректированный. Исключение слабого фактора всегда снижает некорректируемый коэффициент детерминации, поэтому мы не можем сделать точный вывод о целесообразности исключения данного фактора из модели по R².

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:

(57)

Частный F-критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого их факторов в уравнении. В общем виде для фактора x_i частный F-критерий определиться как

(58)

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью t-критерия Стьюдента сводиться к вычислению значения

(59)

где m_bi – средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии b_i, она может быть определена как

(60)

Методика проверки значимости уравнения регрессии в целом и отдельных его параметров такая же, как и в парной регрессии.

Дата добавления: 2017-02-01