Завдання додому

1. Конспект, підготовка до практичного заняття.

Питання для самоконтролю

1. Перша особлива границя

2. Друга особлива границя

3. Натуральні логарифми.

4. Порівняння нескінченно малих.

Л Е К Ц І Я 14

Тема: Неперервність функції. Похідна. Диференціал функції у= f(x).

Мета: сформувати поняття неперервності функції; ознайомити з похідною, її метричним та економічним змістом, основними правилами диференціювання, таблицею похідних, похідною складної функції.

Література: [1, с. 191-222]; [6, с. 237-260].

П Л А Н

1. Неперервність функції у=f (x).

2. Похідна функції. Геометричний та економічний зміст.

3. Основні правила диференціювання.

4. Таблиця похідних.

5. Похідна складної функції.

6. Означення диференціала та його зміст.

7. Інваріантність форми диференціала.

8. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

1. Розглянемо у=f (x),

У х є [a; b]

dy х₀ – початкова точка

B у=f (x)

Δу

Дамо х₀ приріст Δх, одержимо

A C f (x₀+Δx) функцію f (x₀+Δ)

Δx

f (x₀)

0 х₀ х₀+Δх х

Різниця f (x₀+Δ)-f (x₀)=Δy називається приростом функції, відповідним приросту аргументу Δ х.

Означення. Функція у=f (х) називається неперервною в точці х₀, якщо ця функція визначена в деякому околі точці х₀ і якщо Δу=0, тобто нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.

Якщо границя приросту функції при не дорівнює 0, то функція в точці х₀ має розрив.

у

х₀ х

1. Означення. Функція у=f (х) називається неперервною на деякому проміжку

[], якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

2. Означення. Похідною функції у=f (х) називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

Похідна позначається символами:

.

Геометричний зміст похідної:

З Δ АВС:

Похідна визначає тангенс кута нахилу дотичної до осі абсцис в початковій точці х₀.

Економічний зміст похідної:

Продуктивність праці є похідною об’єму продукції за часом.

Похідна визначає швидкість зміни функції точці.

Операція знаходження похідної від функції y=f (x) називається диференціюванням цієї функції.

Нехай функція u=u (x) та v=v (x) – неперервні.

1)

2)

3) с – const

4) с – const

c – сonst

4. Таблиця похідних

1.	с^’=0, с – const
2.	х^’=1
3.	- довільне число	3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
7.		7.
8.		8.
9.		9.
10.		10.
11.		11.
12.		12.
13.		13.
14.		14.
15.		15.
16.		16.
17.		17.

Приклад:

=

5. Нехай дана складна функція у=f (g (x)).

Щоб знайти похідну складної функції потрібно похідну від зовнішньої функції помножити на похідну від внутрішньої функції.

Приклади:

1)

2)

6. у= f(x), х є D,

За властивістю границі маємо:

де - нескінченно мала;

Доданок називається головною частиною приросту функції, її ще називають диференціалом функції:

Приріст незалежного аргумента дорівнює його диференціалу, тоді формулою диференціал можна записати так:

Геометричний зміст диференціала

Диференціал визначає приріст ординати дотичної, яка проведена в точці х₀ до графіка функції у= f(x).

7. Інваріантність форми диференціала – незмінність: перший диференціал функції у= f(x) визначається за однією і тією самою формулою незалежно від того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функцією іншої змінної.

8. Диференціал функції застосовується в наближених обчисленнях.

Дата добавления: 2014-01-04