Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

П Л А Н. 1. Конспект, підготовка до практичного заняття. 1. Конспект, підготовка до практичного заняття





Завдання додому

 

1. Конспект, підготовка до практичного заняття

[1] с. 191-222

[2] с. 176-194

 

2. Самостійна робота №8 “Задача про неперервне нарахування відсотків”

(2 год.) [2] с. 159-161

 

3. Самостійна робота №9 “Поняття про еластичність функції”

(2 год.) [2] с. 196-198

 

Питання для самоконтролю

1. Неперервність функції у=f (x).

2. Похідна функції. Геометричний та економічний зміст.

3. Основні правила диференціювання.

4. Таблиця похідних.

5. Похідна складної функції.

6. Означення диференціала та його зміст.

7. Інваріантність форми диференціала.

8. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.


Л Е К Ц І Я 15

 

Тема: Дослідження функцій. Побудова графіків.

Мета: сформувати поняття екстремума функції, опуклості і вгнутості кривих, асимптоти кривої, ознайомити з схемою дослідження функції та побудовою графіка.

Література: [1, с. 246-266]; [6, с.249-254].

1. Екстремум функції.

2. Опуклість і вгнутість кривих.

3. Асимптоти кривої.

4. Схема дослідження функції та побудова графіка.

5 Видача індивідуального завдання.

 

1. Границя відношення двох функцій (у випадках невизначеності виду і при або ) дорівнює границі відношення похідних цих функцій.

(або ) (або )

Правило Лопіталя використовується з застосуванням особливих границь і властивостей границь.

 

Приклад:

=

 

2. Розглянемо функцію у= f (x), .

1) Функція називається зростаючою, якщо при х2 > х1 f (x2) > f (x1).

y

 

f (x1) f (x2)

0 x1 x2 x

 

2) Функція називається спадною, якщо при x1 > x2 f (x2) < f (x1).

 

y

       
 
   
 


f (x1)

f (x2)

0 x1 x2 x

 

Функція, яка або тільки зростає, або тільки спадає на деякому інтервалі, називається монотонною на цьому інтервалі.

 

Достатні умови монотонності функції.

 

1. Якщо в кожній точці інтервалу функція має додатню похідну, то в цьому інтервалі функція зростає, тобто нерівність є достатньою умовою зростання функції.

2. Якщо , то в інтервалі функція спадає.

3. Якщо в кожній точці інтервалу , то в цьому інтервалі функція постійна.

у

у=с

с

0 х

 
 


y

у=f (x) - гострий кут

0 x

 

3. Розглянемо функцію у= f (x), х.

х0 – точка max, якщо значення функції в цій точці є найбільшим в порівнянні із значенням функції в деякому околі точки х0 .

у

max

       
   

 


0 х1 х0 х2 х

 

х0 – називається точкою min, якщо значення функції в цій точці є найменшими в порівнянні із значенням функції в декому околі точки х0 .



у

min

 
 

 


0 х1 х0 х2 х

 

 

Необхідна умова існування екстремума (але не достатня).

Якщо в точці х0 існує екстремум, то в цій точці похідна дорівнює 0 або не існує.

Ці точки називаються критичними (або стаціонарними).

y Геометрично: дотична в точці

max екстремуму паралельна осі Ох .

 
 


min

 
 

 


0 x0 x1 x

 

Але критичні точки не обов’язково являються точками екстремума.

 

Достатні умови існування екстремуму.

 

1) х0 є точкою екстрeмума функції y= f (x), якщо при переході через цю точку похідна змінює знак:

якщо з “+” на “ – “ – точка max;

якщо з “ – “ на “+” – точка min.

2) х0 є точкою екстремума, якщо і - точка max;

- точка min.

 

4. Загальна схема дослідження функцій та побудова графіків

 

І Дослідження функції y = f (x).

1) Область визначення функції, точки розриву, лівостороння і правостороння границі, вертикальні асимптоти.

2) Точки перетину графіка з осями координат.

3) Парність і непарність функції.

4) Похилі асимптоти графіка функції.

 

ІІ

1) Знаходження точок, в яких можливий екстремум (необхідна умова).

2) Достатні умови існування екстремума.

 

ІІІ

1) Знаходження точок перетину графіка (необхідні умови існування точок перетину).

2) Достатні умови існування точок перетину, інтервали опуклості і вгнутості графіка функції.

 

IV Поведінка функції на нескінченності, знаходження f (x).

V Побудова графіка.

Завдання. Методами диференціального числення дослідити функцію і побудувати її графік:

І Область визначення функції:

-1

- точка розриву функції.

Знайдемо односторонні границі:

(зліва)

(справа)

 

Односторонні границі не рівні між собою і не існують, значить в точці х= -1 функція має розрив другого роду.

х =-1 – рівняння вертикальної асимптоти.

х=-1 у Асимптота – пряма лінія, до якої

наближається графік функції, але не перетинає її.

 

 
 


-1 0 х

 

Асимптоти бувають вертикальні, похилі і горизонтальні.

2) З віссю Оу : при х=0 у (0)= (0; 0)

З віссю Ох : при у=0 (0; 0)

3) Якщо f (-x) = f (x), то функція парна (графік симетричний відносно осі Оу ).

Якщо f (-x) = -f (x), то функція непарна (графік симетричний відносно початку координат).

Якщо , то функція ні парна, ні непарна.

- функція ні парна, ні непарна.

4) Похилі асимптоти.

Рівняння похилих асимптот шукаємо у вигляді у=kx+b,

де k -=, b=.

k=

b=

у=х-1 – рівняння похилої асимптоти.

       
   
 
 


х=-1 у у=х-1

 

-1 0 1 х

-1

 

 

ІІ

=0

Знайдемо інтервали монотонності:

 

-2 -1 0 х


 

- 2 (- 2; -1) ( -1; 0)
+ - - +
  - 4

max min

 

ІІІ 1) =

=

 

2) Точкою перетину називається точка, яка відділяє опуклу частину графіка від вгнутої.

у

А А – точка перетину

 
 


0 х0 х

 

Необхідні умови існування точки перетину

Якщо в точці х 0 є перегин, то в цій точці або дорівнює 0, або не існує.

Якщо на деякому інтервалі < 0, то на цьому інтервалі графік функції опуклий; якщо > 0 – графік функції вгнутий.

Знайдемо точки, в яких може бути перегин: =0 коренів немає =

Точок перегину немає.

 

3) Знайдемо інтервал опуклості і вгнутості:

 

-1 х

 

х (-; -1) (-1; +)
- +
  опуклий вгнутий

 

 


IV Поведінка функції на нескінченності.

0 0

0 02

Горизонтальним асимптот функція не має (якщо k=0, то b=, тому у=b – рівняння горизонтальної асимптоти).

 

V Побудова графіка.

1) Будуємо асимптоти, точки екстремума і точки перетину, точки перетину графіка з осями координат.

2) Вітки графіка в інтервалах, де функція зростає і спадає, а також інтервали опуклості і вгнутості графіка.

у

 

0 х

-1

 

       
   
 
 

 

 





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 257; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.022 сек.