Определитель. Действия над квадратными матрицами

Основные понятия. Сложение, вычитание, произведение матрицы на число, произведение матриц

Числовой матрицей называется квадратная или прямоугольная таблица чисел. Общая форма записи

.

Здесь

– элемент матрицы, стоящий на пересечении - й строки и - го столбца;

– число строк, – число столбцов; – размер матрицы.

Например, матрица имеет размер , а ее элемент, стоящий во второй строке и первом столбце .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль -матрицей:

.

В случае матрица называется квадратной порядка , ее элементы – составляют главную диагональ.

Квадратная матрица, главная диагональ которой состоит из «1», а остальные элементы – «0» называется единичной:

.

Линейные операции (сложение, вычитание, умножение на число) выполняются поэлементно:

Сложение и вычитание матриц возможно, если они имеют одинаковый размер, т.е., например, невозможна операция

.

Произведение матрицы-строки на матрицу-столбец примем по определению:

.

Знак означает, что нужно суммировать стоящие под ним элементы, последовательно придавая в них индексу значения , т.е.

.

Произведение матрицы на матрицу определим как матрицу , каждый элемент которой вычисляется по правилу умножения - ой строки матрицы на -й столбец матрицы . (Формально )

Пример 1.1. Найти матрицу , если .

Решение.

Ответ: .

Замечания.

- умножение матриц выполнимо, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй (например, операция в условиях приведенного примера невозможна);

- вообще, . Если , такие матрицы называются перестановочными. (Докажите самостоятельно, что если матрицы перестановочны, то они квадратные.)

Матрица, получаемая из данной матрицы заменой строк столбцами с теми же номерами, называется транспонированной к и обозначается .

Например, транспонируя матрицу , получим: .

Свойства (при условии, что операции в обеих частях равенств выполнимы)

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

- перестановка местами параллельных рядов;

- умножение ряда на ненулевое число;

- прибавление ко всем элементам ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число (далее будем говорить кратко: прибавление к ряду параллельного ряда, умноженного на некоторое число).

Две матрицы называются эквивалентными (обозначается ), если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Будем называть «трапециевидной» матрицу, у которой под элементами с одинаковыми индексами – нули:

или или .

Пример 1.2. Элементарными преобразованиями над строками привести к «трапециевидной» матрицу .

Решение. Чтобы обнулить соответствующие элементы в первом столбце, прибавим ко 2-й строке 1-ю, умноженную на (-1), и к 3-й строке –1-ю, умноженную на (-2):

.

Осталось поменять местами 2-ю и 3-ю строки:

.

Таким образом,

.

Введем необходимые для дальнейшего изложения определения четных и нечетных перестановок..

Расположение чисел в каком-либо порядке называются перестановкой. Число перестановок из чисел равно (читается «эн-факто-риал» – произведение первых натуральных чисел).

Рассмотрим перестановку . Если , то говорят, что пара образует инверсию. Перестановка называется четной, если она содержит четное число перестановок, и нечетной – в противном случае.

Из чисел 1, 2, 3, например, существует перестановок:

1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1.

При этом 1 2 3 – четная, т.к. в ней нет (ноль) инверсий, 2 1 3 – нечетная, т.к. содержит одну инверсию (2,1).

Дата добавления: 2013-12-12